Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
области соответствует фазовый портрет, изображенный на рис. 3.45, б, на
котором устойчивое равновесие заключено в неустойчивый предельный цикл,
являющийся границей области притяжения равновесия. Таким образом, если
при значениях параметров, лежащих в параметрической области 2, на фазовом
портрете границей области притяжения равновесия служит разомкнутая кривая
(входящая сепаратриса седла), то при значениях параметров в области 4
граница области притяжения равновесия является замкнутой и любое
достаточно сильное возмущение выводит систему за границу области
притяжения равновесия.
Рассмотрим бифуркации, происходящие в системе (3.4.11) при у > 1 и при
переходе значений параметров из области 2 в область 5 через область
4. При переходе значений параметров через линию Р петли сепаратрисы,
разделяющую параметрические области 2 и 4, на фазовом портрете системы из
петли сепаратрисы рождается ''большой" неустойчивый предельный цикл. По
мере дальнейшего изменения параметров в том же направлении, например по
мере увеличения значения а, размер предельного цикла на фазовом портрете
уменьшается. При пересечении значениями параметров поверхности N
нейтральности равновесия А предельный цикл на фазовом портрете
стягивается в точку (''садится на равновесие"), равновесие теряет
устойчивость и все траектории системы уходят на бесконечность.
Рассмотрим структуру опасной параметрической границы системы
(3.4.11). При у < 1 на двумерном{а, /3}-срезе полного параметрического
портрета системы опасная граница устроена так же, как на плоскости (а, 6)
системы (3.4.8), и состоит из участков аналогичной природы.
Как устроена опасная параметрическая граница на двумерном (а, ^-срезе
параметрического портрета при у> 1? Нетрудно видеть, что параметрические
области 2 и 4 отвечают существованию устойчивого равновесия А в первом
квадранте системы, а параметрические области 1 и 5 - его отсутствию.
Следовательно, опасной параметрической границей системы при у > 1
является совокупность границ между областями 1 и 2 с одной стороны и
областями 4 и 5 - с другой. Заметим, что в отличие от случая у < 1 при у
> 1 опасная параметрическая граница в координатах{а,/3}представляет собой
гладкую линию.
Таким образом, опасной параметрической границей системы (3.4.11) в целом
в пространстве {а, /3, -у} является совокупность участков трех
поверхностей - седлоузла, нейтральности равновесия А и петли сепаратрис
седлаС, причем общая структура границы определяется ее локальной
структурой в параметрической точке, общей для всех трех поверхностей и
отвечающей бифуркации условной коразмерности три для системы (3.4.11).
57
3.4.6. Нелинейность размножения хищника и конкуренция жертв
Сочетание этих двух факторов, из которых нелинейность размножения хищника
является дестабилизирующим, а конкуренция жертв - стабилизирующим,
приводит к системе [19]
которая заменой t = т/а, х = (a/d) и, у = (а/Ъ) v преобразуется к виду
где у = с/а, е = a/dK, п = ЬК/а. В зависимости от значений параметров
возможны два способа взаимного расположения нуль-изоклин (рис.3.4.10,а).
Начало координат фазового портрета системы (3.4.16) при всех значениях
параметров является, как и у всех ранее исследованных систем, равновесием
типа седло. Кроме того, при всех значениях параметров существует
равновесие В{ы= 1/е, и= 0}на оси абсцисс. Это равновесие при всех
значениях параметров - устойчивый узел.
Условие касания нуль-изоклин задает в пространстве параметров {7, е, п}
поверхность, отделяющую область значений параметров, при которых на
фазовом портрете нетривиальные равновесия в первом квадранте отсутствуют,
от области значений параметров, при которых на фазовом портрете
существуют два нетривиальных равновесия А и С:
Выполнение этого равенства отвечает слиянию на фазовом портрете двух
равновесий и существованию вырожденной особой точки АС типа седлоузел.
Соответственно заданную этим условием параметрическую поверхность,
отвечающую бифуркации коразмерности один, мы будем называть поверхностью
седлоузлов S.
Воспользуемся тем же приемом, что и ранее, и будем строить
трехпараметрический {7, е, и [-портрет системы (3.4.16) в виде
однолараметрического семейства двупараметрических (е, "[-портретов при
различных фиксированных значениях у. Тогда, при любом значении у условие
(3.4.17) задает на плоскости] е, п) уравнение бифуркационной линии S
седлоузлов, разбивающей плоскость параметров на две области (см. рис. 3,
4, 10,6). При значениях параметров, лежащих выше S, на фазовом портрете
системы нетривиальных равновесий в первом квадранте не существует. При
значениях параметров, лежащих ниже S, существует пара равновесий А и С с
коорди-
К-х
у = -су +dx-- , N+y
(3.4.15)
й = и - uv - ей2,
uv
Ь = -У"+!ГТд'
(3.4.16)
R = (1 - ye) - 4 yen = 0.
(3.4.17)
58
0
а
и ff
6
/г
Рис. 3.4.10. Два варианта взаимного расположения нуль-изоклин (а) и линия
S седло-узлов (б) на плоскости параметров{п, е) для системы (3.4.16)
