Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 12

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 83 >> Следующая

испытывает с его стороны никакого влияния (отношения типа ± 0).
Знаки "+" и "-" в этой символике, кроме общепринятого метафорического,
имеют конкретный математический смысл. Если динамика двух
23
взаимодействующих популяций описывается системой дифференциальных
уравнений
х = xf(x,y), у - yg (х, у)
и производные Э// Эу и Эg/ Эх имеют постоянный знак при всех значениях
переменных, то сочетание знаков этих производных определяет характер
межпопуляционных отношений в соответствии с общепринятой классификацией.
С этой точки зрения отношения типа ± 0 являются исключительной,
вырожденной ситуацией и рассматриваться не будут.
Трофические отношения или отношения хищник-жертва являются на" более
существенными для функционирования экосистем. Рассмотрим их в первую
очередь.
3.1. МОДЕЛЬ ВОЛЬТЕРРА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Первая модель, описывающая динамику численности (плотности) двух
популяций, взаимодействующих по принципу хищник-жертва, была предложена
независимо А. Лотка [140] и Вито Вольтерра [171] :
х = ах - Ъху, у = -су + dxy, (3.1.1)
где х и у - плотности популяции жертвы и хищника соответственно, а -
скорость размножения популяции жертвы в отсутствие хищника, b - удельная
скорость потребления популяцией хищника популяции жертвы при единичной
плотности обеих популяций, с - естественная смертность хищника, d/b -
коэффициент переработки потребленной хищником биомассы жертвы в
собственную биомассу.
В основу модели положены следующие идеализированные представления о
характере внутривидовых и межвидовых отношений в системе хищник-жертва:
1) в отсутствие хищника популяция жертвы размножается в соответствии с
принципом Мальтуса - экспоненциально;
2) популяция хищника в отсутствие жертвы экспоненциально вымирает;
3) суммарное количество жертвы, потребляемое популяцией хищника в единицу
времени, линейно зависит и от плотности популяции жертвы, и от плотности
популяции хищника;
4) потребленная хищником биомасса жертвы с постоянным коэффициентом
перерабатывается в биомассу хищника;
5) какие бы то ни было дополнительные факторы, оказывающие влияние на
динамику популяций, отсутствуют.
В исходной записи (3.1.1) система зависит от четырех параметров. Заменой
переменных
а а
х = - и, у =-- v, t = т/а d b
приходим к системе уравнений
й = и - uv,
о = -у v + uv, (3.1.2)
включающей лишь один параметр у = с/а.
24
Результат исследования системы в первом квадранте фазового пространства
общеизвестен. Равновесиями системы являются начало координат - седло - и
точка (и = 7, v = 1) - центр. Система консервативна, все ее траектории
образуют замкнутые циклы при любых 7> 0.
Заметим, что хотя при исследовании системы (3.1.2) и в дальнейшем при
исследовании всех ее модификаций биологический смысл имеют лишь
положительные и конечные значения переменных, однако часто бывает
полезным знать характер динамического поведения системы при отрицательных
и стремящихся к бесконечности значениях переменных. Полный
Рис. 3.1.1. Схематическое изображение фазового портрета системы (3.1.2)
на сфере Пуанкаре при у > 0
фазовый портрет системы (3.1.2) на сфере Пуанкаре имеет вид, изображенный
на рис. 3.1.1.
Основная особенность системы Лотка-Вольтерра, благодаря которой она стала
классической и в какой-то мере эталонной для многих последующих моделей
математической экологии, состоит в том, что на основе очень упрощенных
представлений о характере закономерностей, описывающих поведение системы,
сугубо математическими средствами было выведено заключение о качественном
характере поведения такой системы - о наличии в системе колебаний
плотности популяций. Без построения математической модели и ее
исследования такой вывод сделать невозможно.
В то же время этой системе присущи два принципиальных и взаимосвязанных
недостатка - один математического, другой биологического характера,
которые ретроспективно правильнее рассматривать не как недостатки, а как
истоки возможности совершенствования и развития. С математической точки
зрения,система (3.1.1) негрубая в смысле Андронова- Понтрягина [6] и,
более того, консервативная. Это означает, что включение в модель каких бы
то ни было дополнительных факторов качественным образом меняет ее
поведение. С биологической точки зрения недостатком модели является то,
что в рамки ее не включены принципиальные свойства, характерные для любой
пары взаимодействующих по принципу хищник-жертва популяций: эффект
насыщения хищника, ограниченность ресурсов жертвы и хищника даже при
избытке жертвы и т.п.
Развитие порожденных работами Вольтерра и Лотка исследований динамики
взаимодействующих популяций пошло по двум направлениям. Истоком первого
направления является упоминавшаяся выше работа А.Н. Колмогорова [135,
53], основная идея которой состоит в том, что, описывая
25
входящие в модельные системы функции, следует задаваться лишь такими их
качественными особенностями, как положительность, монотонность, отношения
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed