Термодинамика - Базаров И.П.
Скачать (прямая ссылка):
.324 частиц. Однако и в квантовом случае без учета скачка плотіюсіи таза при переходе к смешению тождестве ті вы X тазов и физической выделенности этого смешения получается выражение для внутренней энергии смеси этих газов, противоречащее термодинамике Что же касается парадокса Гиббса, то он возникает как в квантовой области, так и в классическом пределе и, следовательно, не имеет отношения к интерференции волн де Бройля и не содержит в себе ничего чрезвычайно важного и совершенно нового (по отношению к классической физике) Используя известное ятя идеальною і аза соотношение
рУ=2J3U,
где р давтение газа в обьеме Va U его внутренняя энергия, сформулируем парадокс Эйнштейна: изменение внутренней энергии ДU при изотермическом смешении вырожденных идеальных газов хотя и зависит от природы смешмаеиых газов, по при переходе от смеси сколь угодно близких газов к смеси тождественных газов AU испытывает скачок.
Внутренняя энергия слабо вырожденпого идеального газа из N частиц в объеме V при температуре T
U=-NkT 1
Nh3
Пусть массы атои
I
различия газов ^=-энергия системы
Ui
J6 V(^.mkT)V: (O^i^l) Тогда до
IOB газов А и В соответственно равны п т1-т2\
и параметр внутренняя
--N^=W-)]-
ждый газ занимает объем 2V.
K^GWO]-
когда каждый ?/u=3,Vfcr
внутренней энергии
38 л AU = Uu-Vi=--
при изотермическом
64 Ул2'2 IkTj1'2 [ml2^mi'2 J Отсюда видно, что AU при смешении вырожденных газо природы.
При смешении сколь угодно близких газов (т2^m1=In)
AU1 = Uli-Ul =
32 V(KmkT)3'2 ,V2A3
32
Непосредственно переходить к пределу W2^ml =т в формуле (9) нельзя, поскольку она не учитывает происходящего при этом предельном переходе скачка плотности газов.
Для того чтобы с помошью формулы (9) найти внутреннюю энергию системы Ug в предельном случае смешения тождественных газов, надо ири IlB Зак. 827 325 переходе к пределу Ti=O заменить плотность NjV на IN1' V. Тогда і с термодинамикой
t/S= lim Lrn=3№r[l+^ w a^u2 j.
16 V(vnkT)>r'
Поэтому изменение внутренней энергии при смешении тождественных газов ALr0 = CZS-Lr1=O и при переходе от смеси сколь угодно близких газов к смеси тождественных газов изменение внутренней энергии вырожденных идеальных газов скачком изменяется на величину
N2Ii1
парадокс Эйнштейна, этот скачок равен
N2h3
¦ давления сооївеїстненно будеї
2 У M V2(Km)3'2 (кТУ'1' Из сказанного следует, что источником парадокса Эйнштейна, как и парадокса Гиббса. является скачок изменения плотности газов при переходе от сто смешения со сколь угодно близким газом к смешению с тождественным газом. Учет этого скачка разъясняет парадоксы Эйнштейна и Гиббса.
В классическом случае (А-»0) скачок AL' равен нулю, і. е. парадокс Эйнхшейна tie имеет классического аналога. Это обусловлено независимостью внутренней энергии классического идеального газа от его плотности NjV. В отличие от U плотность внутренней энергии этого газа U=UjV зависит от плотности газа и поэтому испытывает скачок при переходе от смешения близких газов к смешению тождественных газов. Это убедительно показывает, что парадоксы Гиббса и Эйнштейна не связаны с дискретностью различия смешиваемых газов; в противном случае получалось бы, что для определения изменения внутренней энергии идеального газа непрерывный переход к тождественным газам допустим, а для определения изменения плотности его внутренней энергии такой переход противоречит законам физики
Заметим, что вообще термодинамические величины, не зависящие от плотности идеального газа, не испытывают скачка при переходе от смешения различающихся газов к смешению тождественных газов; те же величины, которые зависят от плотности і аза, такой скачок испытывают вследствие соответствующего скачка плотности.
Рассмотрим изменение внутренней энергии и энтропии при втором виде изотермического смешения слабо вырожденных газов, когда после смешения іазьі AuB принципиально нельзя выделить из смеси.
В простейшем случае такого смешения газы А и В термодинамически отличаются друг от друга плотностью. Пусть плотности газов А и В соответственно равны Ni/V и N1IV, обшее число атомов N1 -N1-^N и параметр і дг, — N21
различия (близости) газов T) =- (0? Г| < 1).
.326 До смешения внутренняя энергия и энтропия таких газов
2 Г V 8 Nih3 1
S7=Ar У Л, In—+--;—'—^r7 L
.-і L V nmkTjh2]
После смешения, когда газ из 2Л' атомов занимает объем 2V, внутренняя энергия и энтропия системы
_5___
f 16ЙкткТ)1-
Nhi
^=3^11+-1^1,,,1,
u i 1с w_„7,t)3,2 >
Sd=SJcjV In-
32 V(KmkT)3'2 j
Изменения внугрсгаїей энергии и энтропии системы при смешении
35 2 N2Izj
"16П vl^^kfr2-
5 , Zc1V2A3
-L1=-
4S-Sn-Si=2foV Infi -+л)--г-1 In
1 1 —r| J 16 1 F(Ttmfcr)3'2' Непрерьівнос изменение при смешении шіоіностей газов А и В. параметра их близости г), приводит к непрерывному изменению AU квантовых газов в интервалах
Л 36 Л'2АЭ
О <AL/<- —
16 vww
L 32 V(nmkT)3'2 j
Отсюда видно, что изменение AU и AS в предельных случаях {rj =O и т] = 1) смешения второго вида не совпадает с изменениями величин (10) и (T) в соответствующих предельных случаях смешения первою вила.
