Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяющее начальным условиям
и(х, у, z,0) - ф (х, y,z)
du(x,y,z, 0) /
t = y(x,y,z)
dt
(z>0)
и граничному условию
t " \ " du(x,y,Q,t)
u(x,yfi,t)=Q или = 0.
dz
Решение этой задачи дается формулой (3), если начальные условия
продолжить на все пространство нечетно по z (при и (х, у,0, t) - 0)
<p(x,y,z)=-q> (х, y,-z); ф (х, у, z) = -ф (x, y-z) du(x, y,Q,t)
или четно (при
dz
- = 0)
ф (x, y, z) = Ф (x, y-z); Ф (x, y,z) = ф (x, y-z).
Проверим, что при нечетном по переменной z продолжении функций ф и ф
граничное условие и (х, у,0, t) выполняется автоматически.
В самом деле из (3) следует, что
/ п ч 1 d
мх, y,0,n =------------
V ' An dt
t\\ty(x + atd"y + atr\,at $ds\
+ - JJv|j(x + at^, у + atr|, at^)ds = 0,
4 n
так как поверхностные интегралы равны нулю при нечетных функциях ф и ф.
II. Гиперболические уравнения § 3. Формула Кирхгоффа
89
Задача, которую мы рассмотрим в этом параграфе, - это задача с начальными
условиями для неоднородного волнового уравнения
2.. ( д2" ,2_. д2"Л
дАи
- = "2
dt2
дх2 ду2 dt2
+ f{M,t), М(х, y,z)<E R3, (6)
где "внешняя сила" / - известная функция. Поскольку разность двух решений
уравнения (6) удовлетворяет однородному уравнению, для которого
единственность установлена, то очевидно, что решение и уравнения (6)
также определяется однозначно по начальным данным
(2). Достаточно найти решение уравнения (6) с начальными данными вида
0 и
и = 0, - = 0 при t = 0. (7)
dt
Тогда решение с более общими начальными данными вида (2) получится
прибавлением правой части выражения (3).
Решение неоднородного дифференциального уравнения с однородными
начальными данными можно свести к решению набора задач с начальными
условиями для однородного волнового уравнения с помощью "интеграла
Дюамеля" (метод импульсов). Пусть о (M,t,s) для любого s >0 обозначаем
решение уравнения
л 2 { -л2 -л2 -л2 Л
О и 2 d U О и
~ а
dt2 1<Эх2 ду2 dz2
(8)
удовлетворяющее начальным условиям
) = 0, - = f(M,s) при t = 0. (9)
dt
90 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Такая
функция о(x,y,z,t,s) существует и принадлежит классу С2, если / е С2.
Покажем, что функция
t
и(М,t)= Jo(M,t - s,s)ds (10)
о
и есть искомое решение задачи (6), (7). Действительно и (М,0) = 0. Далее
8u(M,t) (.So (M,t~s,s) , ч
--------=J------------ '-ds + 'o{M,0,t). (11)
dt
dt
т-, г, ди(м, О)
Полагая в последнем соотношении 1 = 0, получаем, что ---------- = 0.
Итак,
dt
условия (7) выполнены. Теперь из (10) и (11) дифференцированием получаем
д и 2
-Т~а
dt2
д и д и д и
2.. \
дх2 ду2 dz2
Эо(МД t)
I
920 2
-Т~а
dt2
So So So
дх2 ду2 dz2
dt
ds.
И, наконец, учитывая (8) и (9), приходим к равенству (6).
Подставляя вместо о его представление в виде (3), которое получается при
ф = 0, ф = / {М, л'), мы получим из (10):
t - т 4л
Я/(х + а (г " х)^< У + а {t - х)г|>z + а {t - Х)С х)с^'
d т.
Здесь мы заменим в формуле (10) параметр " на т.
Полагая x' = x + a{t- т)^, у' = у + a(t - т)г|, z' = z + a(t - х)й,,
последнюю формулу представим следующим образом:
(M-i/
dsr
d т =
4л а" о r s, 1
J-ЯЛ M',t--\dsrdr =
(12)
ш
M'.t-
\м'м\
d x'd y'd z'.
II. Гиперболические уравнения 91
Таким образом, решение неоднородного уравнения (6), удовлетворяющего
начальным условиям (2), является суммой правых частей формул (3) и (12):
An dt
/Я°(д + atу + atr\,z + at
+ - JJv|/ (x + a t у + a t r\, z + a t s +
4n
1
/
Ш
M',t
\M'M\
\
dx'dy'dz'.
Anaz \M'M\<ai \MM\
Формула (13) называется формулой Кирхгоффа. При п = 2 формула (13) примет
вид:
1 8
2л a dt
jj ф (M')dx'dy' ^
(13)
1
Я
\\i(M')dx'dy'
1
J Я
/(М', т )dx'dy'
2na\MM'\<at ^a2t2 - \мм'\2 2 71 а о I м М'\<а (/-т)
2 (t - т)2 - | ММ '|2
-dx.
Задачи
1. Доказать, что если функции f,u0,ux - гармонические в Rr' х = (xj,
х2,..., хп ), a g(t) е С1 (t > О), то решение задачи Коши
utt =а2Аи +g(t)f(x],x2,...,x"); и|,=0 = и0(х) и,|,=0 = ы,(х)
выражается формулой
t
и (x,t) = м0(х)+ t их(х) + /(х) J(? - x)g(x)dx.
2. Найти решение задачи Коши
utt =alAu + f(x); и|^0=и0(х), ut\t=Q = ux(x), если А"/ = О, Ати0 = О,
Атих = 0.
92 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
3. Решить задачи (и = 2):
a) utt=Au+2, и|;=0=х, u\t=o = У\
б) ип=а2Аи, и г=0 = и, г=0 = (х2+у2) ;
2 til 2 I I
b) ии = а Аи + е \х + у ) , и ,=0 = ut\ t=0= 0.
4. Решить задачи (п = 3):
( 2 2 2 \ I 2 2 2 I
х +у +z I, mL о = х у z , M(|,=0 = х у z;
2 / 2 2 2 I ? I I
6)utl-a Ли + lx + у +z le , mL 0 = м< г=0=0.
Лекция 12. Колебания ограниченных объемов
Одним из наиболее эффективных методов решения многомерных краевых задач
является метод Фурье (разделения переменных). В настоящей лекции мы
применим этот метод для решения первой краевой задачи для уравнений
колебаний:
д2
р-у = div(pgradw)-q и, MeQ,t>0, (1)
д t
М(м,0)=ф(м), 8м(М'°) = ф(м), MeQ, (2)
dt
u\s = 0 для t>0. (3)
Здесь Q - некоторый объем, ограниченный замкнутой поверхностью
S, а
функции р(м), р{М) и q{M) определяются свойствами среды такими, что
