Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Байков В.А. -> "Уравнения математической физики" -> 20

Уравнения математической физики - Байков В.А.

Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики — Москва, 2003. — 252 c.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка): uravneniyamatematfiziki2003.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 56 >> Следующая

соотношение можно представить так
Дифференцируя (14) по г и полагая v = ru , получим (4). Следовательно,
согласно формулам (11) и (8), имеем
(12)
Теперь, используя формулу Остроградского
Д| divАс/v=J{(a,и) dsr
kr sr
(13)
Теперь, учитывая формулу (10), равенство (13) приводим к виду
(14)
2
и(м0 ,t)~ й(О, t) = - /'(?)
(15)
а
84 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Выразим / через начальные данные ф и i|/. Для этого продифференцируем
Здесь ф и у -средние значения функции ф и \д на сфере sal радиуса г = at
с центром в точке М0, и наконец из (15) и (17) получаем формулу Пуассона
Из формулы Пуассона (18), полученной в предложении существования решения
задачи Коши (9), следует единственность указанного решения. В самом деле,
предполагая, что задача Коши имеет два решения и, и и2, получим для
разности начальные условия ф = 0, ф = 0. Применяя к функции М[-м2
предыдущие рассуждения, приходим к формуле (18), в которой Ф = 0, ф = 0
и, следовательно, и = 0 или и, = и2 ¦
Нетрудно доказать, что функция и(м0, t), определяемая формулой Пуассона
(18), в самом деле дает решение задачи Коши (9), если ф(х, у, z) не-
Из последних соотношений получаем, что
(16)
Далее полагая в(16) t = 0 и г = at, будем иметь
-^-(t ф)+ Ад = - /'(?). at а
(17)
д
u(M0,t) = -(ty)+ty, dt
которую, учитывая (10), можно записать в виде
(18)
где
(19)
II. Гиперболические уравнения 85
прерывна вместе со своими производными до третьего порядка, а v|>(х, у,
z) - до второго порядка включительно.
Из формул (18), (19) непосредственно видна непрерывная зависимость
решения задачи Коши от начальных данных. Действительно, опуская индекс О
при М0 формулы (18),( 19), можно представить так
( \ 1 д
'Ах, y,z,t) =-----------
V ' 4л dt
t JJ(p(x + ait,, у + atr\, z + atC,)dsl
(20)
4 v|/(x + ai%, у + atr[, z + at?)dsl

Здесь Sj -сфера, заданная уравнением ^2+г|2+^2=1. Теперь вместо функций ф
и \у мы подставим в формулу (20) другие ф0 и ф0, такие, что
|ф-ф0|<е,
Эф Эф0
дх дх Эф Эф0
Эф Эф0
<
ду ду
<?, |ф-ф0|<?,
д z д z
то решение и0 задачи Коши, как это вытекает из формулы (20), для новых
начальных данных будет мало отличаться от решения для старых,
ибо
Ип -и\=-

Я
(фо -ф)-и(ф0 -v)+^|
дх дх
\
Эфо__ Эф ду ду
ах| •
dz дг
dsx
< (l + t + 3at)z .
Из последней формулы следует, что решение и задачи Коши (9) непрерывным
образом зависит от начальных данных на любом конечном временном
интервале.
И наконец, используя представление (20), нетрудно проверить, что эта
функция u(x,y,z,t)~решение задачи (9).
86 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Задачи
1. Пусть функция и{х, у, z, i) является решением задачи Коши
utt = а2Аи, u\i=Q = <p(x,y,z), ut\t=Q=0.
Доказать, что функция
t
v(x, y,z,t) = Jm(x, у, z, t)c/t 0
является решением задачи Коши
vtt=a2 Av, v^0=0, v<|^0=9 (x,y,z).
2. Доказать, что для существования решения задачи Коши
utt=a2Au, M(x,y,z)s R2,
u\t=o =f(x)g(y>z\ MrLo=0
достаточно, чтобы функция g(y, z) была гармонической и /(х)ес2(я). Найти
это решение.
3. Решить задачи:
а) ии = а2(ихх + иуу + uzz ), u\t=Q = u,\t=Q = х1 + у2 + z2 ;
б) ии = a2(uxx+uyy+uzz) , м|(=о = и,[=о = cosyjx2+y2+z2 .
Лекция 11. Волновое уравнение (Метод спуска, метод отражения, формула
Кирхгоффа)
Явный вид решения и волнового уравнения в трехмерном пространстве был
получен в предыдущей лекции методом усреднения. А именно показано, что
решение следующей задачи Коши
д2и dt2
dLu
д2и
я2 ^ о и
дх2 ду2 dt1
М(х,у,z)e R3, t > О
м(М,0)= ф(м), 5ц(М<0) = ф(м) dt
(1)
(2)
II. Гиперболические уравнения дается формулой Пуассона
I \ 1 д
Mix, y,z,t)=-----------
V ' 4л dt
1 Яф(х + а 1 & у + atr\,z + atS,)ds
H-------------------------JJv|;(х + аД, у + atr\, z + at^)ds,

где S - сфера заданная уравнением t2 +r\2 +C)2 =1.
§ 1. Метод спуска
87
(3)
Чтобы получить решение двумерного волнового уравнения
д_и_
dt2
f д2
2. 2.
dzu
дх2 ду2
(4)
(уравнения колебаний мембраны), мы используем "метод спуска" Адамара.
Пусть и = и (х, у, t) - решение уравнения (4) с начальными условиями
((х,у, 0)= ф(х, у), 8М^-У'0) = ф(х ,у}
dt
(5)
Тогда и можно рассматривать как решение задачи Коши (1), (2) в
специальном случае, когда и, ф,ф не зависят от z. Следовательно, решение
задачи (4), (5) согласно формуле (3) вычисляется так:
( \ 1 д
(IX, y,t)=-------
V ' 2ndt
я
\у(х + at ^,у + at r|)
d^dr|.
'С+,Г<1 д/i-<г -л Полагая М(х,у), М'(х',у'), x' = x + atу' = у + atr\,
последнюю формулу можно записать следующим образом
< (м ,t) = 1
1 8
Я
ф (M')d x'd у'
2па dt
ф(м')с/ x'd у'
' -\/й
Я
2п а \MM'\<aI ^a2t2 - \мм'\2
88 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§ 2. Метод отражения
Задача с начальными условиями для волнового уравнения в случае областей,
ограниченных плоскостями, может быть решена методом отражений.
Рассмотрим, например, задачу для полупространства z > 0: найти решение
волнового уравнения
( д2",
д2и
dt2
V
dzu dzu д2 и^ дх2 ду2 dt2
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed