Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Байков В.А. -> "Уравнения математической физики" -> 19

Уравнения математической физики - Байков В.А.

Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики — Москва, 2003. — 252 c.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка): uravneniyamatematfiziki2003.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 56 >> Следующая

Я(Р,Р')> согласно лемме (см. лекцию 8), дает уравнение, связанное
преобра-
зованием вида
и\
(x,y)=l(x,y)o(x,y)
(18)
ния (18) h = k
-------, формулы (3), (5) дают
(.х-у)
х-у
х-у
Теперь из формулы (11) получаем, что
- -Х(х)+к^Х'{х)- Jr(y)(* -yfdy + (х - y)JP(y)(x - y)dy. (19)
Полагая в формуле (19) Y{y)= 0, мы получаем специальное решение
и^^_у)Х'{х)-Х{х).
(20)
II. Гиперболические уравнения 79
Совершенно, аналогично, используя формулу (10), получаем специальное
решение вида
u = (Z_df(y)-Y(y). (21)
Далее положим в формуле (19) Y(y')--^?'"(y). Тогда интегрированием по
частям приводим общее решение (19) к следующей форме
и = к^У)[х'(х)-у'(у)]-[х(х) + У{у)1 (22)
Таким образом, общее решение (22) уравнения (18) есть сумма специальных
решений (20) и (21).
Задачи
1. Докажите, что уравнение
а Р У п
ихУ +7 \их +7 \иу + т туи - 0
{х + у) [х + у) (х+у)2
имеет решение вида
и = АХ + А1Х' + ...+ А"Х{п\ где Х(х)~произвольная функция, если у = (а +
и)(Р _ п ~ l)> п -любое натуральное число. Найдите общее решение для
произвольного у при п = 1.
2. Проинтегрируйте уравнения:
а) иху +хих+уиу + 0 + * у)и ~ 0;
б) uxv + тхих + nyuv +(2т-п + тпху)и = 0;
в) иху + туих + есу иу + (2с + ту)есу и = 0,
где т,п, с-некоторые постоянные.
3. Покажите, что уравнение
иху + хуих + nxz = 0, я-целое,
имеет решение вида
и = АХ + АхХ' + ...+ А"ХМ,
80 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики где Х(х)~
произвольная функция переменного х. Построить эти решения для случая и =
2 и п = -1.
4. Проинтегрируйте уравнения:
\ 1 к к _ ,
а) и - и +- и и = 0, к = const;
' х у х у 7 7
У х у ху
б) иху +fi Ци, --f-----------------------1 и = 0;
U x-yj X х х-у)
2 2 4 а
в) и7 гМ,--------------------------------М = 0.
* (х-у) * (х-у) (.v- vf
Лекция 10. Волновое уравнение. Формула Пуассона
В этой лекции рассматривается задача с начальными данными (задача Коши)
для уравнения колебаний при отсутствии внешних возмущений.
д2и
-- = a2Au, u=u(M,t) (1)
dt2
д2 д2 д2
в неограниченном пространстве (М = М(х,у, z)). Здесь А = ------------
дх ду д z"
- оператор Лапласа.
§1. Частные решения
Рассмотрим частные решения уравнения (1), обладающие центральной
симметрией относительно некоторой точки М0, т.е. решения вида
и{М ,i)=u(r,t), (2)
где г = |ММ0| - расстояние между точками М и М0. Для функции вида (2)
результат применения оператора Лапласа в случае записывается в виде
II. Гиперболические уравнения 81
в чем можно убедится дифференцированием. Поэтому уравнение (1) принимает
вид
д2и а2 д2
и и U и ( \
- = - -у\ги)-
Вводя теперь функцию
dt2 г дг2
v = ги, (3)
получаем для нее уравнение колебаний струны
Э20 2 Э2о
-у = " -у. (4)
dt2 дг
Если функция u(r, t) ограничена при г = 0, то функция (3) обращается в
нуль при г = 0, и(0, t)= 0. Поэтому задача Коши для исходного уравнения
(1) с начальными данными
и(г,0) = ф(г), 5"М) = ?(г) (5)
dt
сводится к задаче о колебаниях полуограниченной струны (0 < г < оо) с
закрепленным концом г = 0:
2 5^>ok0) = r(^ и(ол) = 0, (6)
dt2 дг2 dt
рассмотренной в лекции 5.
Общее решение уравнения (4) дается формулой
u(rO=/l^--J + /2^ + T
и, следовательно,
г V а) г \ а) где /[ (^) и /2 (^) - произвольные дважды дифференцируемые
функции. Частные решения уравнения (1)
"1 =-/l( t-- и "2 = -fl[ t + ~ r V a J г V a
82 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики называются
сферическими волнами: u^(r,t) есть расходящаяся сферическая волна,
u2{r,t) - сходящаяся в точку г = 0 сферическая волна, а - скорость
распространения волн.
Таким образом, общее решение уравнения (1) в случае центральной симметрии
представляется в виде суммы двух сферических волн.
Учитывая условие u(0,f)=0, находим f\{t) + flit) = 0 или
fiit)=-f\it) для всех значений t > 0, т.е.
uir't) = -f{t + -\--f{t--1 при />- (7)
г \ a j г V а) а
и, в частности,
"(О (8)
а
§2. Метод усреднения
Существует интегральное преобразование, существенно использующее
сферическую симметрию оператора Лапласа А, которое сводит уравнение (1) к
(4). Этот классический метод решения принадлежит Пуассону. Мы применим
его для решения следующей задачи Коши:
x,y,z) е 1$, t> О,
(9)
и(м,0) = ф(м), 5м^°) = ф(м).
Предположим, что решение задачи (9) существует и пусть M0(x0,y0,z0) -
фиксированная точка.
Рассмотрим функцию
u(r,t)= М r[u] = -l-ffudsr, (10)
4 л г Sr
являющуюся средним значением и на сфере sr радиуса г с центром в точ-
<Э'ц
dt2
= а2Аи = а2
d4i дл
д и
д х д у д z
М(
II. Гиперболические уравнения
83
Из (10) видно, что
u(M0,t)=u(0,t). (11)
Покажем, что функция ru{r,t) = обладающая сферической сим-
СП)
метрией относительно точки М0, удовлетворяет уравнению (4). Для этого
проектируем уравнение (9) по объему шара кг, ограниченного сферой sr:
для векторного поля A-grad и, соотношение (12) перепишем следующим
образом:
с) и с) Ъ1
Здесь мы учли, что нормаль к sr направлена по радиусу и - = -. Далее,
дп дг
представляя шар как совокупность концентрических сфер, последнее
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed