Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Частица, падающая сверху или снизу на делитель 50/50, появится либо в верхнем, либо в нижнем выходящем луче с одной и той же 50% вероятностью. Тогда из условия квантовой унитарности - то есть, из условия, что частицы не теряются, если делитель их не поглощает, -следуют определенные фазовые условия на действие делителя [7], с одной свободной фазой. Можно очень просто описать фазовое действие делителя, зафиксировав фазовые соотношения так, что оно будет описываться преобразованием Адамара (1.5).
22 Физика квантовой информации: основные понятия
Снова предположим, что состояние на вход - это произвольный кубит:
|е>. И0). ¦ <>.7)
Для случая одной частицы это означает, что а - это амплитуда вероятности обнаружить частицу, падающую на делитель сверху, а ув
- амплитуда вероятности обнаружить частицу, падающую снизу. Тогда в результате действия делителя получается конечное состояние
|eL=^>,=^(<“+/#L+<“-«|i>J ¦ (‘.ад
так что амплитуда вероятности найти частицу в верхнем выходящем пучке равна теперь (а + /}), а амплитуда вероятности найти ее в нижнем пучке равна (а- /3). В частности, если а = О или р- 0, то видно, что частицу можно с равной вероятностью обнаружить в любом из выходящих пучков. В другом частном случае, а = Д частица будет обязательно обнаружена в верхнем пучке, и никогда не будет обнаружена в нижнем.
Интересно и полезно рассмотреть последовательности таких делителей, поскольку они осуществляют последовательности преобразований Адамара. Для двух последовательных преобразований используется интерферометр Маха-Цандера (Рис. 1.3) с двумя одинаковыми делителями.
'out
out
Рис. 1.3. Интерферометр Маха-Цандера (вверху) и последовательность из двух преобразований Адамара (внизу)
Показанные на рисунке зеркала нужны только для того, чтобы перенаправить пучки. Предполагается, что они одинаково действуют на два пучка, и, следовательно, при анализе их можно не учитывать. Тогда полное действие интерферометра можно описать просто как два последовательных преобразования Адамара, действующих на произвольное состояние на входе (1.7):
Преобразование одного кубита 23
leL^leHe), <'-9>
Ответ следует из того простого факта, что двойное применение преобразования Адамара (1.5) есть тождественная операция. Это означает, что показанный на Рис. 1.3 интерферометр Маха-Цандера, делители в котором осуществляют преобразование Адамара, на выходе воспроизводит то состояние, которое он получает на входе. Рассмотрим еще раз крайний частный случай, когда вход состоит только из одного пучка - то есть, предположим, без потери общности, что а = 1, а нижний пучок - пустой. Тогда, согласно (1.9), на выходе частица будет обязательно обнаружена наверху. И, что интересно, это произойдет именно потому, что между делителями частица была бы с одинаковой вероятностью (с определенной относительной фазой) обнаружена в каждом из пучков. Именно интерференция между двумя амплитудами, падающими на последний делитель, приводит к тому, что частица всегда оказывается в одном из выходящих пучков, и никогда - в другом.
На языке квантовой информации, кубит на выходе интерферометра Маха-Цандера будет иметь определенное значение, если кубит на входе будет также иметь определенное значение - и это только потому, что в промежутке между двумя преобразованиями Адамара значение кубита было максимально неопределенно.
Рис. 1.4. Вверху: интерферометр Маха-Цандера с фазовращателем q> в одном из двух пучков. Это полностью меняет результат. Внизу: эквивалентное представление с преобразованиями Адамара и логическим элементом сдвига фазы.
Еще одним важным квантовым логическим элементом, помимо элемента Адамара, является фазовращатель. На Рис. 1.4 он дополнительно введен в интерферометр Маха-Цандера. Его функция состоит в том, чтобы просто совершить сдвиг фазы (р у одного из двух пучков (без потери общности, предполагаем, что это верхний пучок, посколь-
24 Физика квантовой информации: основные понятия
ку важна только относительная фаза). В наших обозначениях, действие фазовращателя можно описать унитарным преобразованием
Ф|0) = е*|0) , Ф|1) = |1) . (1.10)
Следовательно, кубит на выходе можно вычислить, последовательно применяя все соответствующие преобразования к кубиту, который был на входе:
• (111)
Оставим читателю вычисление общего выражения для произвольного состояния кубита на входе. Мы же снова ограничим обсуждение случаем, когда есть только один пучок на входе, а именно а = 1 и (3= 0, то есть, |Q)in= 0. Тогда конечное состояние становится
1°) = + 1)|о> + (е* -1)!1» . (1.12)
У этого выражения есть очень простая интерпретация. Сначала мы замечаем, пользуясь (1.12), что для <р = 0 значение кубита определенно и равно «0». С другой стороны, для (р = к, значение кубита строго равно «1». Это показывает, что фазовый сдвиг <р может переключать состояние выходного кубита между «0» и «1». В целом, вероятность, что кубит имеет значение «0» есть PQ = cos2(^/2), а вероятность, что он несет значение «1» равна .Р, = sin2(^?/2).
В этом разделе мы обсудили некоторые основные идеи, касающиеся линейных преобразований квантовых битов. Обратимся теперь к перепутанным кубитам.
