Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
п.
составн.
(8-50)
(8.51)
(8.52)
356 Очищение перепутывания
рации в каждой контрольной точке на Рис. 8.14 (внизу) становятся причиной некоего шума, возникающего в процессе передачи; (2) качество передачи через каждый сегмент уже является ограниченным некоторым максимальным значением F . Это ясно из того факта, что и поглощение в свободном канале, и протокол очищения на Рис.8.13а включают локальные операции, которые становятся источниками шума и, отсюда, ограничивают максимальное достижимое качество. Оба этих эффекта нарастают (экспоненциально) с числом контрольных точек и в конечном счете полностью разрушают качество передачи.
о-------о о------о о-------о • • • о----------о
А С, С, CN., В
Рис.8.15. Соединение последовательности N ЭПР-пар, см. текст.
Чтобы прояснить этот момент, рассмотрим следующую эквивалентную задачу. Сначала мы приготовим N элементарных ЭПР-пар с качеством F, < и распределим их между узлами A&Ct, Cl&C2,...CN Х&В, как показано на Рис. 8.15. Затем, объединим эти пары с помощью выполнения измерений состояний Белла в узлах С и классическим образом распределим результаты так же, как и в схемах по телепортации [74] и обмену перепутывания [74, 398]. В результате отдельная ЭПР-пара окажется распределенной между конечными точками А к В (рис.8.15). К сожалению, в каждом соединении качество результирующей пары будет уменьшаться, поскольку процесс соединения заключает в себе несовершенные операции и является причиной возникновения шума. К тому же, даже при идеальных соединениях, качество уменьшается: соединение, например, двух состояний Вернера с качеством Ft при измерении состояний Белла, дает новое состояние Вернера с качеством
)}¦ (8-5з> так, что F2 ~ F2 для F{ ~ 1. Оба эффекта накапливаются с каждым новым соединением и приводят к экспоненциальному уменьшению качества Fn конечной пары, распределенной между А и В, с ростом N. В итоге, величина FN падает ниже определенного порогового уровня Fmm> 1/2, т.е. состояние, в принципе, не может быть очищено. Это означает, что качество нельзя увеличить методами очищения [47, 49].
Таким образом, разбивая канал на более короткие сегменты, удается ликвидировать эффект экспоненциального увеличения числа повторных передач, ценой введения экспоненциального уменьшения качества!
Квантовые повторители 357
Возможность уйти от этого ограничения состоит в соединении меньшего числа L « N пар, так, чтобы FL > Fmm, когда очищение станет возможно. Идея заключается в соединении результирующих пар и продолжения действий в таком же ключе. Метод, в котором выполняются чередующиеся последовательности соединений и очищений, должен быть реализован так, чтобы количество требуемых затрат не росло экспоненциально с ростом N и, таким образом, с ростом I,
L1
L
A e Cl Cil
Рис.8.16. Вложенное очищение с рядом элементарных ЭПР-пар.
В заключение этого раздела мы рассмотрим вложенный протокол очищения [381], состоящий в одновременном объединении и очищении пар. Смысл его состоит в следующем (см.Рис.8.16). Предположим, для простоты, что N = L" для некоторого целого п. На первом уровне мы одновременно объединяем пары (с начальным качеством F;) во всех точках соединений, кроме CL, C7L,...CN_L. В итоге у нас оказывается NIL пар длиной L (и качеством FJ между A&CL, Cl&C*. и т.д. Чтобы очистить эти пары нам необходимо иметь определенное число М копий, которые мы строим следующим образом. Удобнее расположить их в виде ряда элементарных пар, как показано на Рис.8.16 для L = 3 иМ= 4. Затем, мы используем эти копии в сегментах A&CL, Cl&C^l и т.д. для очищения и (вос)создания по одной паре с качеством F на каждый сегмент. Последнее условие определяет (среднее) число копий М , которое нам необходимо и которое будет зависеть от начального качества, уменьшении этого качества при соединении и эффективности протокола очищения. Общее количество элементарных пар, которое мы использовали до этого момента, составляетLM. [На Рис.8.16 это означает, что каждая группаLxM= 3 х 4 пар должна быть заменена на одну пару с начальным качеством.] На втором уровне мы объединяем L таких пар в каждой точке соединений C^k = 1, 2...), кроме Си, С^„..., CN_U. В результате, мы получаем NIL2 пар длиной L2 между
358 Очищение перепутывания
A&Cl„ С^&С^и т.д. с качеством FL. И снова, нам нужноМ параллельных копий таких длинных пар, чтобы очистить их до качества > F, . Общее число элементарных пар, участвующих в процессе до этого момента, составляет (LM)2. [Теперь, полный набор из З2 х 42 пар на рис.8.16 должен быть заменен одной парой с качеством Fp] Мы продолжаем такую операцию на все более высоких уровнях, пока не достигнем п-го уровня. В результате, мы получаем конечную пару между А&В длиной N и качеством Fx. Таким образом, общее число R элементарных пар будет составлять (LM)n, где М" дает число требуемых «параллельных каналов» на рис.8.16. Можно выразить этот результат в форме
R = N]o&lM+\ (8.54)
которая показывает, что затраты ресурсов растут полиномиально с расстоянием N.
Метод вложенного очищения восходит к идее объединенной кодировки [399], которая используется в контексте квантовых вычислений, нечувствительных к ошибкам [400]. Эта схема позволяет, в принципе, передавать кубит на произвольно большие расстояния с полиномиальными затратами ресурсов. Однако, это требует кодировать единичный кубит в перепутанном состоянии большого числа кубитов, которое посылается через канал и оперировать таким кодом несколько раз во время процесса передачи. Напротив, в схеме вложенного очищения мы не посылаем произвольного кубита через канал, а создаем ЭПР-корреляции по всему каналу одновременно. При создании таких корреляций, никакой квантовой информации не передается (хотя ЭПР-пара может впоследствии использоваться для связи посредством телепортации). В результате, мы получаем требование на качество при локальных операциях, которое не превышает нескольких процентов. В случае же квантовых вычислений, нечувствительных к ошибкам, эта величина составляет 10 5 [399].
