Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Общая теория квантового исправления ошибок и устойчивости к сбоям 311
биться этого состоит в многократном повторении КИО, но со специально сконструированной такой процедурой извлечения синдрома, чтобы она исправляла больше шума, чем порождала. Большинство важных новых идей, которые позволяют нам это сделать, было предложено Шором [367] и обсуждалось Прескилом [359]; см. также [368] - [370]. Здесь мы примем общий подход Шора, но с некоторыми существенными улучшениями, введенными Стином [371, 372]. Надо отметить, что эта тема гораздо меньше созрела для изложения, чем КИО; многие ее важные аспекты пока не исследованы. Здесь мы сконцентрируемся на том, чтобы объяснить один метод правильного извлечения синдрома.
-SH-
г
Zh
:......у
ОШ—t-i.J
-4-й
X
Рис. 7.8. Сеть для устойчивого к сбоям извлечения синдрома.
Полная квантовая сеть для устойчивого к сбоям извлечения синдрома показана на Рис. 7.8. Для краткости, рассмотрим простейший случай кода для исправления одной ошибки; все идеи можно обобщить на коды для исправления многих ошибок. Фундаментальные величины с двумя состояниями в компьютере называются физическими кубитами. Каждая горизонтальная линия в сети представляет не одиночный физический кубит, а блок из п таких кубитов. Операторы, например, оператор Адамара или CNOT, прикладываются к соответствующему блоку или блокам, т.е. всего применяется п операторов, по одному на каждый кубит или пару кубитов.
Наш метод основан на аккуратном использовании повторений, т.е. на том факте, что ошибки X- и Z-типа распространяются различным образом, а также на полезных свойствах кодов СШС. Определим позицию ошибки как любую 1 или 2-кубитную логическую операцию на физических кубитах (включая операции приготовления и измерения), или как свободную эволюцию любого физического кубита в течение одного шага по времени. Предполагается, что шум является некоррелированным и стохастическим, так что ошибки возникают независимо с вероятностью ~ у. Цель всей сети состоит в том, чтобы исправить одну ошибку в блоке компьютера таким образом, чтобы ни один сбой на какой-либо одной позиции не привел к появлению ошибки веса > 2 в блоке компьютера. Идея состоит в том, что извлечение синдрома должно сделать однобитные ошибки в компьютере более вероятными по
312 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
отношению к другим ошибкам, и, в то же время, именно однобитные ошибки легче исправлять. Важно также не создавать неисправимых ошибок с вероятностью О(у).
Мы начнем с того, что введем два дополнительных блока и приготовим каждый из них в нулевом состоянии |0)L. Каждое из этих приготовлений не устойчиво к сбоям; оно собьется так, что приготовленное состояние будет содержать любую ошибку любого веса с вероятностью 0( у). Применяем CNOT поблочно между двумя дополнениями и измеряем все биты одного из них в вычислительном базисе. Таким способом мы пытаемся убедиться, что было приготовлено правильное состояние, пользуясь тем фактом, что поблочная физическая операция CNOT действует как логическая CNOT для кода СШС. Следовательно, результат измерения будет элементом классического кода C2l(7.78). Если это не так, то приготовим дополнения снова, и будем повторять до тех пор, пока наше условие не будет выполнено. На этой стадии вероятность того, что оставшееся неизмеренное дополнение содержит ошибки с весом > 2, равна 0{у2), так как это может случиться, только если произойдут сбои как минимум на двух позициях. Отметим, что дополнение может содержать ошибки Z-типа с любым весом.
Теперь свяжем проверенное дополнение с компьютером поблочным физическим CNOT. Еще раз, мы пользуемся тем фактом, что эта операция действует как логическая CNOT, так что на этой стадии сбоев не будет! На самом деле, кое-что при этом все-таки происходит: ошибки ЛГ-типа передаются от дополнения к компьютеру, а ошибки Z-типа передаются от компьютера к дополнению. Это хитрый и устойчивый к сбоям способ собрать синдром ошибок Z-типа в дополнении. Мы считываем его, преобразовывая дополнение вращением Адамара (чтобы превратить ошибки Z-типа в перевороты бита) и затем, производя измерение в стандартном вычислительном базисе. Здесь мы воспользовались тем свойством, верным для определенного класса кодов СШС, что поблочное физическое преобразование Н действует как логическое Н, так что состояние дополнения останется в закодированном подпространстве, за исключением ошибок Z-типа, которые превратятся в ошибки Х-типа.
Пока еще в компьютере нет такой позиции, на которой могла бы произойти ошибка веса 2, но мы уже в опасности, так как уже есть много позиций, на которых единственный сбой привел бы к неверному синдрому. Если бы мы попытались «исправить» состояние компьютера на основе неверного синдрома, то на самом деле внесли еще больше ошибок. Поэтому надо повторить весь процесс, описанный выше. В результате появляется два синдрома. Если они согласуются друг с
Общая теория квантового исправления ошибок и устойчивости к сбоям 313
другом, то тогда единственная ситуация, в которой они могут быть неправильными, состоит в том, что на двух разных позициях произошли сбои. Вероятность этого процесса порядка 0{у2), так что мы можем ею пренебречь и поверить синдромам. Если же они не согласуются, то надо извлечь третий синдром и поверить большинству из них.
