Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
7.5.4 Физика шума
Шум и декогерентность сами по себе являются большими темами для изучения. Здесь мы всего лишь представим некоторые базовые идеи, чтобы прояснить, что может и чего не может сделать КИО. Под «шумом» мы понимаем просто любое неизвестное и нежелательное изменение матрицы плотности нашей системы.
Утверждение (7.62) об оцифровке шума эквивалентно утверждению, что любое взаимодействие между системой кубитов и окружением имеет вид
где операторы //.'действуют на окружение. Под действием этой связи, матрица плотности системы (после усреднения по окружению)
(7.80)
Общая теория квантового исправления ошибок и устойчивости к сбоям 309
переходит из р0 в Ъ.аЕ.р0Е.. КИО переводит все члены с исправляемыми Е. обратно в р0. Следовательно, точность воспроизведения исправленного состояния по отношению к свободному от шума состоянию р0 определяется суммой всех коэффициентов а., относящихся к неуправляемым ошибкам.
Математически строгий анализ этой проблемы дан в работах [365, 366]. Основные идеи таковы. Шум - это, как правило, непрерывный процесс, влияющий на все кубиты в течение всего времени. Однако, при обсуждении КИО мы всегда принимаем модель, в которой с помощью проекционного измерения извлекается синдром. Любое утверждение типа «вероятность того, что происходит ошибка Е.» есть просто сокращенная форма от «вероятность того, что извлечение синдрома проицирует состояние на такое, которое отличается от состояния без шума на оператор ошибки Е.» . Мы хотим вычислить эти вероятности.
Чтобы это сделать, будет полезно разделить (7.80) на сумму членов, содержащих операторы ошибки с разными весами:
В первой сумме Ъп членов, во второй - 32и!/(2!(и-2)!), и так далее. Сила связи системы с окружением выражается через константы связи, которые стоят в операторах ЕеЕ. В том случае, когда в сумме присутствуют только члены с весом 1, мы говорим, что окружение действует независимо на каждый кубит: напрямую оно не производит коррелированные ошибки в двух и более кубитах. В этом случае в матрице плотности также будут присутствовать ошибки со всеми весами, но объем членов с весом w будет порядка 0(s2w), где параметр е обозначает силу связи системы с окружением.
Поскольку КИО восстанавливает в матрице плотности все элементы, вес ошибки у которых не превышает t = d/2, то можно оценить точность воспроизведения исправленного состояния, в модели некоррелированного шума, как один минус вероятность Р(М-1) того, что шум произведет ошибку веса t+1. Эта вероятность приблизительно равна
когда все одно-кубитные ошибки могут складываться когерентно (т.е. кубиты взаимодействуют с одним общим окружением), или
вес(Е)=1
вес(Е)=2
вес(Е)=3
( ( п \ V
Pit + 1) - 3м ?М
(7.82)
(7.83)
310 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
когда ошибки складываются некогерентно (т.е. либо различное окружение, либо одно и то же окружение со связями со случайно меняющейся фазой). Значение формул (7.82) и (7.83) состоит в том, что КИО работает очень хорошо, если t большое, и ё*< t/Зп. Поскольку хорошие коды существуют, t на самом деле может быть большим при фиксированных tin и к/п. Следовательно, до тех пор, пока количество шума на кубит не превысит границу, приближенно равную t/Ъп, возможно почти полное восстановление состояния. Отношение tin ограничивает скорость кода через квантовую границу Хамминга или ее аналоги.
Такой некоррелированный шум является разумным приближением во многих физических ситуациях, однако, нам надо быть очень осторожными со степенью приближенности, поскольку нас интересуют очень малые члены порядка ed. Если мы ослабим приближение абсолютно некоррелированного шума, то уравнения (7.82) и (7.83) останутся, приближенно, такими же, если и только если константы связи в (7.81) для ошибок веса t сами по себе не превышают e4t\
Совершенно другая ситуация, в которой КИО также работает очень хорошо, имеет место, когда в системе доминирует высоко коррелированный набор ошибок (так называемые ошибки разрыва), но мы можем найти КИО со стабилизатором, включающим в себя все эти коррелированные ошибки. Этот случай иногда называют «избеганием ошибок», а не «исправлением ошибок», поскольку нам даже не надо исправлять логическое состояние: оно уже не связано с окружением. Общий урок состоит в том, что чем больше мы знаем об окружении, и чем большей структурой обладает связь системы с окружением, тем лучше мы можем находить хорошие коды.
7.5.5 Квантовое вычисление, устойчивое к сбоям
Обсуждение КИО в предыдущих разделах относилось к передаче информации с высокой степенью точности по зашумленным квантовым каналам, но пока осталось неясным, какое отношение оно может иметь к квантовым вычислениям. Дело в том, что до сих пор мы предполагали, что сами квантовые операции, используемые при извлечении синдрома, защищены от шума. То есть, на самом деле, мы обрабатываем информацию для борьбы с шумом, но неясно, насколько точной должна быть обработка, чтобы что-нибудь получилось.
Устойчивое к сбоям вычисление занимается надежной обработкой информации, даже когда каждая элементарная операция и каждый период свободной эволюции сами по себе вносят шум. Один способ до-
