Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
7.5.3 Конструирование кода
Мощь КИО происходит из сочетания понимания физики и уже обсуждавшихся математических методов с тем фактом, что ККИО реально можно найти. Конструирование кода - это сама по себе интересная и тонкая область, которую мы лишь кратко представим здесь.
Во-первых, вспомним наше требование, что все члены стабилизатора должны коммутировать между собой. Легко показать, что
XZ =(-1Y4ZX,
и v х ' v и
где м-v - это бинарная операция проверки четности, или внутреннее произведение бинарных векторов, найденное в GF(2). Отсюда,
M = XZ иМ =Х ,Z „
и v и vп
коммутируют, если и только если
M-v'+v-M1 = 0 . (7.73)
Стабилизатор полностью определен записью п - к линейно независимых операторов ошибки, которые его покрывают. Удобно записать эти операторы ошибки с помощью двоичных строк и и v, которые относятся к частям X и Z, в форме двух двоичных матриц размера (п - к) х п: Нх и Нг Тогда весь стабилизатор полностью определяется двоичной матрицей размера (и - к) х 2п
Н=(И.\Н,), (7.74)
и то требование, что все операторы между собой коммутируют (то есть, что Jf - абелева группа) выражается в виде
НхНТ2+НгНТх= 0, (7.75)
где знак т обозначает транспонирование матрицы.
Матрица Н - это аналог матрицы проверки четности в классическом коде исправления ошибок. Аналогом производящей матрицы является матрица G = (Gx | GJ, удовлетворяющая условию
Общая теория квантового исправления ошибок и устойчивости к сбоям 307
(7.76)
Другими словами, матрицы Н и G являются дуальными по отношению к внутреннему произведению, определенному выражением (7.73). У матрицы G п + к рядов. Н можно получить непосредственно из G, если поменять местами части, относящиеся к X и Z, и затем взять обычную двоично-сопряженную матрицу к получившейся двоичной матрице размера (л + к) х 2п.
Заметим, что выражения (7.76) и (7.75) означают, что G содержит в себе Н. Пусть S обозначает множество операторов ошибки, порождаемое G. Тогда S содержит Jf.
Поскольку, в силу определения (7.76), все члены S коммутируют со всеми членами Jf, и поскольку (пересчетом) *больше ни один оператор ошибки не может коммутировать со всеми членами Jf, можно заключить, что все операторы ошибки, не содержащиеся в S, анти-коммутируют по крайней мере с одним членом Н. Это приводит нас к важному наблюдению: если все члены S (кроме единичного оператора) обладают весом, не меньшим d, то все операторы ошибки (кроме единичного) веса не меньше, чем d, антикоммутируют с членом Jf, и, следовательно, наблюдаемы. Следовательно, такой код может исправить все операторы ошибки с весом меньшим, чем d/2.
Что, если только члены S с весом меньшим, чем d, являются также и членами Jf>. В этом случае код все равно может исправить все ошибки с весом меньшим, чем d!2, с помощью свойства (7.70) (вырожденный код). Вес d называется минимальным расстоянием кода.
Таким образом, проблема построения кода сведена к задаче нахождения таких двоичных матриц Н, которые удовлетворяют условию (7.75), и дуальные к которым матрицы G, определяемые выражением (7.76), обладают большим весом. Теперь мы запишем такой код, скомбинировав хорошо отобранные классические коды для исправления ошибок:
'н2 0 ' ( G 0 "
G = 1
,0 «и 1°
Здесь Н., i - 1,2, - это проверочная матрица классического кода С., произведенного Gr Следовательно, #G.r = 0, и условие (7.76) выполнено. Чтобы удовлетворить условию коммутативности (7.75), мы беремНХН2 = 0, или, другими словами, С/с Сг. По построению, если размеры классических кодов равны к и к2, то размер квантового кода равен к = к^ + к2 -п. Квантовые кодовые слова равны
(7.78)
308 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
где и - это двоичное слово из к битов, х - двоичное слово из п битов, и D - это матрица размера (к х п) из образующих элементов смежного класса. Таковы коды СШС (Сэлдербэнка-Шора-Стина). Их значение в том, что они, во-первых, могут быть эффективными, и, во-вторых, в том, что они используются в устойчивом к сбоям вычислении (см. ниже).
Говоря «эффективные», мы имеем в виду, что для данного din существуют такие коды, у которых отношение kin остается выше некоторого конечного нижнего предела при к, п, d —»оо. У кодов СШС d = min^, d2). Если при построении мы взяли два одинаковых классических кода С, = С2 = С, то мы рассматриваем классический код, который содержит дуальный себе. Можно показать, что для отношения к!п в таких кодах существует конечный нижний предел [364]. Этот факт очень важен: он означает, что КИО может быть очень мощным средством для подавления шума (см. следующий раздел).
Существуют ККИО более эффективные, чем коды СШС. Хорошие коды могут быть найдены путем развития методов СШС, а также с помощью других методов. Для иллюстрации, в завершение этого раздела мы приводим стабилизатор и производящую матрицу совершенного кода с [[«, к, d\\ = [[5, 1, 3]]. Он кодирует один кубит (к = 1) и исправляет все ошибки веса 1 (поскольку d!2 = 1.5).
"11000 00101^ ( Н И, )
01100 10010 X
G = 11111 00000
00110 01001 00000 11111
,00011 10100, \ J
