Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бауместер Д. -> "Физика квантовой информации" -> 117

Физика квантовой информации - Бауместер Д.

Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации — М.: Постмаркет, 2002. — 376 c.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка): fizikakvantovoyinformacii2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 151 >> Следующая

(7.64)
(7.65)
!“)еС
304 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
с5 может быть любым набором ошибок {?}, таким, что любое произведение ExiЕ2 либо принадлежит Jf, либо антикоммутирует с любым элементом из Jf. Чтобы это увидеть, рассмотрим сначала второй случай
Мы говорим, что совместный оператор ошибки ЕХЕ2 наблюдаем. Это может случиться, только если
Чтобы извлечь синдром, мы измеряем все наблюдаемые в стабилизаторе. Для этого достаточно измерить любой набор из п-k линейно независимых М из Jf. Заметим, что такое измерение не действует на состояние в закодированном подпространстве, поскольку это состояние является собственным состоянием для всех этих наблюдаемых. Измерение проицирует состояние с шумом на собственное состояния каждого М, с собственным значением ±1. Строка из п-к собственных значений образует синдром. Уравнения (7.67) гарантируют, что Ех и Е2 порождают различные синдромы, так что их можно отличить друг от друга. Действительно, если взять испорченное состояние Е\ф)1 и измерить переменнуюМ, то, согласно (7.67), ошибки Е = ЕХ и Е = Е2 приведут к отличным друг от друга собственным значениям. Следовательно, ошибку можно сначала найти с помощью синдрома, а затем исправить, вызвав в системе найденную ошибку еще раз (воспользовавшись тем фактом, что квадрат всех операторов ошибки равен единице).
Посмотрим, как этот процесс выглядит в применении к состоянию с шумом общего вида. Состояние с шумом представляется как
Можно произвести извлечение синдрома, просто присоединив к системе п-к кубитов дополнения а, и сохранив в них собственные значения системы с помощью последовательности операций CNOT и вращений Адамара. Конкретную вычислительную сеть можно построить, либо рассуждая в терминах проверки четности для информации, хранимой в дополнении (как на Рис. 7.5), либо с помощью следующего метода измерения собственного значения. Чтобы извлечь собственное значение Я = ±1 операторам, приготовим дополнение в состоянии (|0) + 11))/лД7Произведем контролируемое-М с дополнением в качестве контроля и системой в качестве мишени, затем повернем дополнение преобразованием Адамара. Конечным состоянием дополнения будет [(1+ Я)|0) + (1- Я)|1)]/ 2.
ЕХЕ2М = -МЕхЕ2 для некоторого М<=7/
(7.66)
либо {МЕХ = -ЕХМ, МЕ2 = Е2М} либо {МЕХ = Е}М, МЕ2 = - Е2М}.
(7.67)
(7.68)
Общая теория квантового исправления ошибок и устойчивости к сбоям 305
Выполнив этот процесс для п - к операторов М, покрывающих Jf, мы свяжем систему и окружение с дополнением следующим образом:
1°)„Е(лШк.>, • (7-69)
I I
Здесь s. - это (« - ?)-битные строки. Они все различны между собой, если синдромы у всех Е различны. Проекционное измерение дополнения произведет коллапс всей этой суммы в один случайно взятый член |j ) (Е. \<j))L)| у/.)е, и, в качестве результата измерения, даст s.. Поскольку существует только одна ошибка Е с таким синдромом, то мы можем узнать оператор Е., который затем следует применить, чтобы избавиться от ошибки!
Можно себе представить этот замечательный процесс следующим образом. Сначала мы, через проекционное измерение, заставляем общее состояние с шумом «выбрать» между дискретным набором ошибок, а затем обращаем конкретную «выбранную» дискретную ошибку, используя тот факт, что результат измерения говорит нам, какой именно была эта ошибка. Альтернативный способ исправления состоит в осуществлении унитарной эволюции, состоящей из контролируемых операций с дополнением в качестве контроля и системы в качестве мишени, эффективно переводящей шум (включая перепутывание с окружением) из системы в дополнение.
Нам осталось рассмотреть вторую возможность, отмеченную выше перед уравнением (7.66), а именно
ExE2eJf. (7.70)
В этом случае у Ех и Е2 будет один и тот же синдром, так что их нельзя различить с помощью процесса выделения синдрома. Но это и не важно! Мы просто интерпретируем общий синдром этих двух ошибок в том смысле, что надо применить процедуру, исправляющую ?,. Если в системе была именно ошибка Ех, то, очевидно, все в порядке. Если же это была ошибка Е2, то конечным состоянием будет ЕхЕ^ф)ь, которое тоже не содержит ошибки! У этой ситуации нет аналогов в классической теории кодирования. Квантовые коды, которые ее используют, называются вырожденными, и не ограничены квантовой границей Хамминга (7.54).
Обсуждение, основанное на стабилизаторе, полезно, поскольку оно фокусирует внимание на операторах, а не на состояниях. Тем не менее, квантовые кодовые слова - это очень интересные состояния, обладающие высокой симметрией и интересными формами перепутывания. Можно легко показать, что кодовые слова в ККИО допускает исправление набора S, если и только если [323, 365]
306 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
(u\E]E2\v) = 0 (7.71)
(u\E,E2\u) = (v\E,E2\v) (7.72)
для всех Е2 е 6 и |и), |v) е С, |м) * |v). В случае, когда ЕХЕ2 всегда антикоммутирует с членом стабилизатора, мы получаем
{и\ЕхЕ2М\ и) = - {и\МЕхЕг\ и) = - (u\E^E2\ и),
и, следовательно, (и\Ех Е2\ и) = 0. Это невырожденный код; все кодовые векторы и их ошибочные компоненты взаимно ортогональны, и квантовая граница Хамминга должна выполняться.
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 151 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed