Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
7.5 Общая теория квантового исправления ошибок и устойчивости к сбоям
Вводный материал и примеры методов квантового исправления ошибок (КИО) были даны в предыдущем разделе. В этом разделе мы представим краткое изложение самых простых аспектов более общей теории.
КИО основано на трех центральных идеях, оцифровка шума, управление операторами ошибок и синдромами, и конструирование квантового кода, исправляющего ошибки (ККИО). Успех КИО основан на физике шума; мы вернемся к этой теме после обсуждения трех центральных идей.
А.Стин
302 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
7.5.1 Оцифровка шума
«Оцифровка шума» основана на наблюдении, что любое взаимодействие между набором кубитов и какой-либо другой системой (например, окружением) можно выразить через обобщение выражения (7.52):
к)И. X(?. W)k)e > (7-62)
i
где каждый «оператор ошибки» Е. есть тензорное произведение операторов Паули, действующих на кубиты, |ф) обозначает начальное состояние кубитов, и \у/)с обозначает состояния окружения, не обязательно ортогональные или нормализованные. Таким образом, мы выражаем общий шум и/или декогерентность в терминах операторов Паули ст., сг, сг, действующих на кубиты. Их можно записать через X=a,Z=a,Y=-icr = XZ.
х’ Z у
Чтобы записать тензорное проязведение матриц Паули, действующих на п кубитов, мы вводим обозначение XuZv, где и и v - «-битные двоичные векторы. Ненулевые координаты в и и v показывают, где в произведении операторов появляются операторы X и Z. Например,
X ®I ®Z®Y ® X = XmuZmxo . (7.63)
Исправление ошибок - это процесс, который переводит состояние вида Е^ф) в |0>. Исправление ошибокХ-типа переводит Хи2^ф) в ZJ$>; исправление ошибок Z-типа переводит X Zv\ф) в Х \ф). В целом, мы обнаружили чрезвычайно важный факт: для того, чтобы исправить шум самого общего возможного вида (7.62), достаточно исправить лишь ошибки X- и Z-типа.
7.5.2 Операторы ошибки, стабилизатор и извлечение синдрома
Теперь мы рассмотрим математику операторов ошибки, с помощью подхода, выдвинутого Готтсманом [360] и Сэлдербанком (с соавторами) [361, 362] на основе первых исследований Стина [357, 358], а также Сэлдербанка и Шора [363, 364].
Рассмотрим набор {/, X, Y, Z}, состоящий из тождественного оператора и трех операторов Паули. Все операторы Паули при возведении в квадрат дают Г. X2 = Y2 = Z2 = 1, и их собственные значения равны ±1. Два компонента этого набора всегда либо коммутируют (XI = IX), либо антикоммутируют: XZ = -ZX. Тензорные произведения операторов Паули также в квадрате дают единицу и либо коммутируют, либо антикоммутируют. Отметим: у нас термин «оператор ошибки» есть просто краткая форма сказать «произведение операторов Паули», такой оператор будет иногда играть роль ошибки, а иногда - роль проверки четности, как в классической теории кодирования в разделе 7.4.2.
Общая теория квантового исправления ошибок и устойчивости к сбоям 303
Если в квантовой системе п битов, то операторы ошибки будут иметь длину п. Весом оператора ошибки называется число членов, не равных I. Например, XloouZomio - это оператор длины 5 и веса 4.
Пусть Jf= {М} - это набор коммутирующих операторов. Поскольку операторы коммутируют, то у них могут быть общие собственные состояния. Пусть С = {|«)} обозначает ортонормальный набор одновременных собственных состояний, у каждого из которых собственное значение равно +1:
Набор G - это квантовый исправляющий код, a Jf- его стабилизатор. Ортонормированные состояния |н) называются кодовыми векторами или квантовыми кодовыми словами. В дальнейшем мы ограничим наше внимание случаем, когда ^образует группу. Ее размер равен 2"'*, и она покрыта п-k линейно независимыми членами Jf. В этом случае G содержит 2к членов, так что он кодирует к кубитов, поскольку его члены покрывают 2*-мерное подпространство 2п-мер-ного гильбертова пространства всей системы. Произвольное состояние из этого подпространства, называемое закодированным состоянием или логическим состоянием, можно выразить через суперпозицию кодовых векторов:
Конечно, один заданный ККИО не может исправить все возможные ошибки. Каждый код позволяет исправить свой специфический набор cS = {Е} исправляемых ошибок. Задача конструирования кода состоит в том, чтобы найти коды, чьи исправляемые наборы включают в себя ошибки, наиболее вероятные в данной физической ситуации. Мы обратимся к этой важной задаче в следующем разделе. Сейчас мы начнем с того, что покажем, какое отношение исправляемый набор имеет к стабилизатору группы, и как именно происходит исправление ошибок.
Во-первых, все операторы ошибок в стабилизаторе исправляемы, Е ecS V Е е Jf, так как они на самом деле не влияют на логическое состояние общего вида (7.65). Если в рассматриваемой системе эти операторы являются единственными членами, формирующими шум, то ККИО есть свободное от шума подпространство, называемое также свободным от декогерентности подпространством системы.
Существует также большой набор ошибок, которые изменяют закодированные состояние, но которые, тем не менее, можно исправить процессом извлечения синдрома ошибки, и затем действием на систему способом, зависящим от полученного синдрома. Мы покажем, что
