Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
|w0) = |000) + |011) + |101) + |110) ,
|w,) = |111) + |100) + |010) + |001) . (7.48)
Если только один кубит перепутается с окружением, то произвольная линейная суперпозиция |w0), |w,) превратится в
296 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
(а01 w0) + а, | Wj)) | Е) -> (а0 | w0 )0 + а, | w, )о) | Е0)
+ (a0\w0\+a,\yv,\)\E,) + (ао | wo)2 + I W1)2)l'^2)
+ (ao|wo)3 + a1|w1)3)|?3) ,
(7.49)
где ошибочное состояние |w). есть кодовое слово j (/ = 0,1) с фазовой
J *
ошибкой в ?-том кубите {к = 0 означает, что ошибок нет). Например, |w0)2= |000) -|011) + |101)-|110). \Ек) обозначают соответствующие состояния окружения. Заметим, что ошибочные состояния ортогональны:
Коды, в которых ошибочные состояния ортогональны, называются невырожденными. Таким образом, процедура исправления ошибки состоит в следующем:
• Спроектируем пространство кодов на подпространства ошибок, покрытые IWq)^ Iw,^ .
• В зависимости от результата измерения, исправим соответствующий кубит с фазовой ошибкой, применив сг. То есть, если результатом вышеописанной проекции является /', то применим сг к кубиту с номером / (если / = 0, то состояние не меняется).
Заметим, что в конце этой процедуры кодовое слово и окружение не перепутаны, и что амплитуды а0, а, не изменены.
7.4.5 Квантовая граница Хамминга
Теперь мы обратимся к кодам, которые могут исправлять перепутывание самого общего вида:
Для линейной суперпозиции состояний кубита удобно записать действие перепутывания в виде
(7.50)
|0)|?)-> |0)|?«) + |1)|?,1)|1)|?)-> |0)|?^) + |1)|Е„) .
(7.51)
ЫО) + *,|1))|Е)->ЫО) + а,|1))|?0)
+ [<r,(ao|l) + a,|0»]|?,)
(7.52)
Исправление ошибок и устойчивое к сбоям вычисление 297
где ах - оператор ошибки для переворота битов (т.е. смены значения бита на обратное), ст - оператор ошибки для переворота фазы, и оу = - /ст ах- оператор обеих ошибок. Как видно из выражения (7.52), общее взаимодействие кубита с окружением можно выразить через действие на кубит операторов Паули ах, ст и ст. Это значит, что состояние кубита превращается в суперпозицию компоненты, свободной от ошибки, и трех ошибочных компонент, с ошибками типа ст, а и ст.
. Теперь нам будет легко перевести на квантовый язык аргументы, которые привели нас к границе Хамминга для «невырожденных кодов» [355] (менее строгие условия выполняются для общих квантовых кодов, см., например, [323]). Если код с 2? кодовыми векторами может исправить вплоть до г) ошибок, то кодовые вектора |w) и все состояния, получаемые из |w) действием не более чем т] операторов ошибки, должны образовывать набор ортогональных состояний. Взаимодействие с окружением преобразует каждое кодовое слово в
где индексы ... маркируют кубиты в кодовых векторах, а
к., к,... — х, у, z
отмечают ошибку в соответствующем кодовом слове. Если код исправляет вплоть до 7] ошибок, то все состояния, содержащие не более, чем tj ошибок по отношению к начальным 2q кодовым словам, должны быть ортогональны. Число ортогональных состояний не должно превышать размерность гильбертова пространства п кубитов, так что мы получаем
что устанавливает нижнюю границу для числа проверочных кубитов п - q в квантовом исправляющем коде, способном исправить вплоть до т) ошибок. Множитель 3‘ появляется в выражении (7.54) из-за того, что в квантовом случае в каждом кубите может возникнуть три независимых ошибки - в отличие от классического случая, в котором единственно возможной ошибкой является переворот бита.
7.4.6 Код с семью кубитами
(7.53)
Теперь мы готовы рассмотреть квантовый код, который может исправить любую ошибку в одном кубите. Хотя известны коды, исполь-
298 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
зующие пять кубитов [323, 356], необходимых согласно границе Хам-минга, из педагогических соображений лучше описать код из семи кубитов, предложенный Стином [357, 358]. Сначала введем матрицу проверки четности:
1^
М =
г0
0
1
0
1 о
0
1 1
1
о
о
1
0
1
1
1
о
(7.55)
Так как все столбцы у М различны, то, если перевернется только один бит, то измерение синдрома выявит положение ошибочного кубита. Чтобы построить кодовые векторы, мы будем использовать в качестве исходных ингридиентов (классические) последовательности и, удовлетворяющие проверке четности Ми = 0, и соответствующие состояния кубитов |и), у которых логические значения кубитов соответствуют последовательностям и. Тогда кодовые вектора |w0), |w,) определяются как перепутанные суперпозиции состояний |и) с четным и нечетным количеством единиц, соответственно:
lwo)=Zlu>e lw.)=Zlu>0 ¦ (7-56)
четн. нечетн.
Последним ингредиентом является процедура измерения синдрома. С этой целью добавим дополнительные кубиты, по одному для каждого бита синдрома, т.е. по одному для каждой строки в М (см. Рис. 7.5). Если М = 1, то вводится логический элемент CNOT, у которого целевым является дополнительный кубит /', а контрольным -кубит j кодового вектора.
|Данные)
доп
|0) ~(1)Ф{ЪФ
|о> -<3> (D Ф 0-
ДОП
|°>-е-М-е
Рис. 7.5. Измерение синдрома переворота бита в коде с семью кубитами.
