Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
с< 1 + п +
(пЛ м |=с?
Л л. J ы
< 2я
(7.42)
Рис. 7.4. В кодах с d(w., w;) > 2tj + 1 непересекающиеся сферы радиуса т) с центрами на каждом кодовом слове содержат все последовательности с количеством ошибок, не превышающим т].
Одно семейство кодов, оказавшееся очень эффективным, в силу исторических причин известно как коды проверки четности [354]. В этих кодах кодовые слова w выбираются так, чтобы они удовлетворяли набору линейных уравнений. Получатель информации (приемник) проверяет, удовлетворяет ли полученная последовательность v этому набору уравнений. Если v не проходит тест, то приемник исправляет наименьшую ошибку, которая могла бы привести к появлению v. Рассмотрим более внимательно, как работает этот код. Набор линейных уравнений, которому должны удовлетворять кодовые слова w, характеризуется матрицей проверки четности М . Кодовые слова w удовлетворяют соотношению
M-w = 0. (7.43)
294 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
Например, кодовые слова
w, = 0000 w2 = 0101 w3 = 1110 w4 =1011 удовлетворяют уравнению (7.43) с
(\ о 1 оЛ
м =
1° 1 1 и
(7.44)
(7.45)
где все арифметические операции делаются по модулю 2. Если ранг М равен т, то к = п - т битов в нашем кодовом слове можно определить произвольно, тогда как остальные т цифр - это проверочные цифры, определяемые соотношением (7.43). Следовательно, число линейно независимых компонентов равно с - 2п~т = 2к, и можно записать границу Хамминга (7.42) в виде
что представляет собой нижний предел для количества проверочных цифр. Предположим, что передавалась последовательность w, и что получена последовательность v. Двоичная последовательность z = w — v, называемая шаблоном ошибок, содержит единицы на тех позициях, где произошла ошибка, и нули на всех остальных позициях. Если z Ф 0, то v не проходит проверку четности: Mv = M(w + z) = Mz = s. Вектор s, называемый синдромом ошибок, есть сумма столбцов в матрице проверки четности в тех местах, где у z есть единицы. Например, если при передаче w = 1110 получилось v=1000, то z=0110, и, при М, заданной (7.45), s = 10.
После того, как стал известен синдром ошибки s, задача приемника состоит в том, чтобы определить, какие шаблоны ошибки z могли произвести s, и затем исправить наименьшую ошибку, то есть, ту, в шаблоне которой меньше всего единиц. Надо заметить, что в случае единичной ошибки синдром есть просто столбец, в котором эта ошибка произошла. Если все столбцы М различны, то приемник может легко определить местонахождение ошибки и исправить ее.
7.4.3 Общие аспекты квантовых кодов, исправляющих ошибки
Как только мы попытаемся обобщить проиллюстрированные выше методы на квантовый сценарий, мы немедленно столкнемся с двумя проблемами:
1. Из-за внешнего шума, каждый кубит может не только поменять значение на обратное, но и потерять когерентность. В общем случае, он перепутается со своим окружением, как было показано в разделе 7.2.
< 2” -> 2"“*
(7.46)
Исправление ошибок и устойчивое к сбоям вычисление 295
2. Мы не можем считать состояние кубита до того, как вычисление закончено. Неисполнение этого правила ведет к декогерентности. Следовательно, мы должны узнать природу и местонахождение ошибки, не узнавая состояние кубитов.
Мы покажем, что можно решить проблему 2, используя в качестве «кодовых векторов» |w) перепутанные состояния п кубитов. В этом случае информация, которую мы хотим защитить, размыта, благодаря перепутыванию, по всем п кубитам. Считывание (или разрушение когерентности) всего нескольких кубитов не приведет к необратимой потере квантовой информации. Кодовые вектора выбираются таким образом, что ошибка переводит |w) во взаимно ортогональное подпространство. Тогда измерение синдрома проявит только то, в какое подпространство переместился вектор |w). Ниже мы предположим, что в эволюции каждого кубита с вероятностью е происходит ошибка, и что ошибки в разных кубитах независимы друг от друга. В рамках этих предположений вероятность ошибки в двух кубитах порядка 0(г2). Разумно предположить, что, при достаточно малых значениях е, происходит только одна ошибка. Вероятность успешного вычисления равна (1-е). Если можно осуществить квантовую процедуру исправления единичных ошибок, то вероятность успешного вычисления возрастет до (1-0(е2)). В общем случае код, способный исправлять вплоть до / ошибок, увеличивает вероятность успешного вычисления до (1-0(ет)).
7.4.4 Код с тремя кубитами
В качестве первого ознакомления с квантовыми кодами, исправляющими ошибки и в качестве иллюстрации идей, которые были представлены выше, мы проанализируем трех-кубитный код, который может исправлять фазовые ошибки в одном кубите [355]. Предположим, что каждый кубит в кодовом слове может независимо от остальных быть подвержен перепутыванию с окружением вида (7.1). Мы покажем, что можно избавиться от эффекта фазового перепутывания, если мы сможем исправлять фазовые ошибки, определяемые как
1°)-Ч0) |1)-Ч1> <7'47>
возникающие из-за оператора ошибки сг. С этой целью, выберем в качестве кодовых слов следующие перепутанные состояния трех кубитов:
