Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Далее мы проиллюстрируем этот эффект на простейшем примере двух кубитов. В этом случае проекция на симметричное подпространство выполняется введением оператора симметризации
<731>
где Р 2 представляет собой тождественный оператор, а Р2Х- оператор перестановки, который меняет местами состояния двух кубитов. Симметричная проекция чистого состояния двух кубитов |\|/) есть просто состояние 5| ц>), отнормированнное затем на единицу. Следовательно, получающееся отображение двух кубитов на смешанные состояния (с учетом перенормировки) есть
_ S(p,®p7)S'
Tr S{pl®p2)ST
Состояние каждого кубита, взятого отдельно, получается тогда частичной сверткой по другому кубиту.
Предположим, что изначально приготовлены две копии чистого состояния р = |\}/) (\}/|, и что они независимо взаимодействуют, каждая со своим окружением. После некоторого короткого промежутка St состояние двух копий претерпит эволюцию
Рт(0) = Ро®Ро -> Рт($0 = А ® р2 , (7.33)
где р. = pQ.+ 73. для некоторой эрмитовой СР. с нулевым следом. Мы оставим только члены первого порядка по возмущениям СР.. Тогда общее состояние в момент времени St будет иметь вид
Исправление ошибок и устойчивое к сбоям вычисление 291
ра) = р0®р0+Э>® р0+р0 <8> %+0(Э*?2)
(7.34)
Мы можем найти среднюю степень чистоты двух состояний до симметризации, сосчитав средний след квадрата состояний:
где СР= М2(СРХ+СР^ . Заметим, что след Тг(р0?) отрицателен, так что выражение (7.35) не превышает единицы. После симметризации каждый кубит находится в состоянии
Так как Тгр 2 ближе к 1, чем (7.35), то получившееся симметризо-ванное состояние системы р - более чистое.
Посмотрим теперь, как меняется точность воспроизведения при применении процедуры симметризации. Средняя точность воспроизведения до симметризации равна
Следовательно, состояние после симметризации ближе к начальному состоянию р0.
Для общего случая R копий степень чистоты каждого кубита после симметризации равна [353]
Можно сравнить формулы (7.40) и (7.41) с соответствующими выражениями до симметризации, т.е. (7.35) и (7.38). Видно, что, при R стремящемся к бесконечности, ps приближгЬтся к невозмущенному состоянию р0. Следовательно, если взять достаточно большое число
(7.35)
(7.36)
и обладает степенью чистоты
(7.37)
(7.38)
тогда как после успешной симметризации она равна
(7.39)
(7.40)
где теперь
и точность воспроизведения имеет вид 1
(7.41)
292 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
R и достаточно высокую частоту проицирования, то можно, в принципе, сделать так, чтобы конечная ошибка всего вычисления оставалась в допустимых произвольно малых пределах.
7.4.2 Классическое исправление ошибок
Еще один класс методов исправления ошибок происходит из распространения на квантовый случай классических кодов, исправляющих ошибки [354]. Разумеется, проблема того, как надежно передавать и преобразовывать информацию, несмотря на возможные ошибки, вызванные шумом, существует и в классической теории информации. Следовательно, прежде, чем мы начнем анализировать квантовые коды по исправлению ошибок, уместно провести краткий обзор того, как осуществляется исправление ошибок в классическом сценарии. Ниже мы будем называть кодом последовательность из с двоичных последовательностей wr..wc, называемых кодовыми словами, каждое длины п. Из-за шума, в процессе передачи и хранения значение некоторых битов перескакивает на противоположное. Такая смена значения бита - это единственно возможный тип классической ошибки. Если канал - двоично-симметричный и не обладает памятью (см. Рис. 7.3), то набор возможных последовательностей на выходе v,...v2n есть набор из всех 2" возможных двоичных последовательностей длины п. Задача получателя информации состоит в том, чтобы по данной последовательности v0 определить наиболее вероятное кодовое слово w., посланное отправителем, то есть, чтобы найти w., самое близкое к v0. В этом контексте расстояние между двумя бинарными последовательностями d(w, v), называемое расстоянием Хамминга, измеряется как количество цифр, в которых эти две последовательности различны между собой. Для двоично-симметричного канала без памяти, строка w( с наименьшим расстоянием Хамминга d(w., v0) является также и наиболее вероятной.
1-е
1-8
Рис. 7.3. В двоично-симметричном канале каждый бит передается с вероятностью ошибки Е.
Очевидно, что, чем больше расстояние между кодовыми словами, тем легче их различить при наличии шума, и, следовательно, тем
Исправление ошибок и устойчивое к сбоям вычисление 293
устойчивее код по отношению к шуму. Если d(w., w^.) > 2rj+ 1 для i Ф], то тогда можно исправить вплоть до rj ошибок.
Предел Хамминга ограничивает сверху число с кодовых слов в коде, способном исправить не более, чем г] ошибок. Каждое кодовое слово w. можно себе представить как центр сферы радиуса г], содержащей все двоичные последовательности v с d(w., v) < rj - то есть, отличающиеся от не более, чем на г] позиций. На Рис.7.4 эта ситуация проиллюстрирована для rj = 4. Чтобы код мог исправлять ошибки, сферы не должны пересекаться. Очевидно, что число двоичных последовательностей в каждой сфере, помноженное на число сфер, должно быть меньше, чем полное число последовательностей длины п. Так как каждая сфера содержит кодовое слово w плюс все последовательности, отличающиеся от него на 1, 2, ... г], то мы должны получить
