Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Существует много различных механизмов возникновения шума в квантовом компьютере. В этом разделе мы опишем только эффект спонтанного излучения ионов [344 - 347], поскольку этот анализ весьма поучителен. Другие механизмы, например, шум в моде центра масс [348], лазерные нестабильности и взаимное влияние различных ионов из-за их малого пространственного разделения [349], здесь не будут обсуждаться. За описанием этих эффектов мы отсылаем читателя к цитированной литературе.
Сейчас мы хотим оценить влияние спонтанного излучения на квантовый компьютер. Обсудим для этого алгоритм факторизации больших чисел [350]. Это обсуждение можно легко обобщить на другие алгоритмы. Как было показано в разделе 4.2, задачу факторизации тяжело решить с помощью классического компьютера, и на нем не удается решить ее эффективно. Однако для квантового компьютера эффективный алгоритм был найден. В идеальных условиях, этот алгоритм позволил бы квантовому компьютеру найти простые множители большого числа экспоненциально быстрее, чем это возможно для классического компьютера. Теперь мы обсудим, чему равно наибольшее число, которое можно факторизовать на квантовом компьютере при условии, что единственным источником ошибок является спонтанная эмиссия ионов. Для простоты анализа, мы здесь не рассматриваем возможность квантового исправления ошибок, а отсылаем читателя к соответствующей литературе [346] и к следующему разделу этой главы.
Рассмотрим следующую экспериментальную установку. Цепоч-
Ограничения квантового вычисления из-за декогерентности 285
ка ионов помещена в линеиную ионную ловушку, и ее поступательное движение охлаждено до основного состояния. Каждый кубит представлен метастабильным оптическим переходом в ионе. Внутренняя структура ионов, которую мы рассматриваем, показана на Рис.7.1. Кубит представлен атомными уровнями 0 и 1. Переходы вызываются лазерным излучением с частотой Раби П0., а скорость спонтанной эмиссии с уровня i равна 2Г... Наличие второго уровня 2 важно, его вклад будет обсуждаться далее. Конечно, возможны и более сложные методы описания такого кубита - например, с учетом зееманов-ских подуровней; но в этом случае анализ усложняется, в то время как выводы остаются теми же самыми. Поэтому за более подробным анализом мы отсылаем читателя к литературе [346].
Е = fojji
02
Г,
22
02
-Е = fhUJoi
Л
11
01
Рис. 7.1. Схематический вид уровней ионов, используемых в квантовом вычислении. Переход 0 <-» 1 представляет кубит. Он управляется лазерным полем с частотой Раби Q Скорость спонтанного распада с уровня 1 равна 2Гп, и предполагается, что она мала. Лазерное поле, резонансное по отношению к переходу 0 «-» 1, неизбежно связывает уровень 0 еще и с другими нерезонансными уровнями, например, с уровнем 2. Частота Раби этого перехода равна О02, и скорость распада 2Г обычно гораздо больше, чем 2ГИ. Эффективная частота Раби перехода 0 <-» 2 очень мала, так как лазер отстроен на Д02» О02-
Наша цель - факторизация числа из L битов, то есть, числа, не превышающего 2L. Из свойств алгоритма Шора [350] мы знаем, что эту задачу можно выполнить за еЬъ элементарных операций - таких, как, например, однобитные операции, CNOT (контролируемое НЕТ), или элементы Тоффоли. Были разработаны сети, выполняющие эту задачу [351], и оказывается, что алгоритму для факторизации числа из L битов требуется порядка 5L кубитов.
286 Декогерентность и квантовое исправление ошибок
Сколько нужно времени, чтобы выполнить все эти операции? Для работы ячейки Тоффоли требуется в 1.5 раза больше времени, чем для логического элемента CNOT [156]. Следовательно, достаточно вычислить время, необходимое для выполнения CNOT. Однобитные логические элементы не рассматриваются, поскольку они работают гораздо быстрее. Причина этого в том, что, в отличие от элемента CNOT, для выполнения однобитных операций не требуется возбуждение моды центра масс (см. раздел 5.2.9).
Для выполнения операции CNOT требуется время
VsZ
T*i=An—pr ¦ (?-2°)
А
Здесь 5L есть число ионов в ловушке, Qm обозначает рабиевскую частоту лазера, которая управляет переходом в кубите, и j] - это параметр Лэмба-Дике (см. детали эксперимента в главе 5). Следовательно, полное время, необходимое для факторизации числа из L битов - это число операций CNOT, умноженное на г
Т = --7Г^-е13 . (7.21)
А
Очевидно, что это выражение содержит в себе три параметра. В частности, может показаться, что мы можем насколько угодно увеличить рабиевскую частоту, чтобы произвести вычисление очень быстро. Это позволило бы нам избежать спонтанной эмиссии с верхнего уровня. Однако все не так просто. Дело в том, что рабиевская частота перехода и постоянная распада этого перехода связаны соотношением
Q2 67ГС3?,
0 Е2 , (7.22)
Г hco0x
где Е - это амплитуда электрического поля лазера, с - скорость света, е0- диэлектрическая проницаемость свободного пространства, сот - частота перехода. Даже согласно этому выражению видно, что можно произвольно увеличивать амплитуду поля. Очевидно, что у этого процесса должны быть какие-то верхние пределы. Если поле Е настолько велико, что превышает электрическое поле между электроном и ядром, то ион немедленно ионизуется. Этот предел, однако, очень высок, так что более важны другие эффекты. На самом деле, при сильном поле лазера нельзя предполагать, что у иона задействованы только два энергетических уровня. Другие уровни будут также вносить вклад в динамику системы, поскольку они могут приобрести небольшие населенности благодаря нерезонансным переходам на них. Эта ситуация
