Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бауместер Д. -> "Физика квантовой информации" -> 106

Физика квантовой информации - Бауместер Д.

Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации — М.: Постмаркет, 2002. — 376 c.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка): fizikakvantovoyinformacii2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 151 >> Следующая

Заметим, что этот эффективный компьютерный поиск дает альтернативный критерий того, является ли данное состояние сг двух систем со спином 1/2 распутанным, т.е. имеет форму (6.45). Существующий критерий был выведен Пересом и Городецки. Он утверждает, что состояние является распутанным, если его частичный след оказывается отрицательным оператором (см. вторую и третью
274 Квантовые сети и многочастичное перепутывание
ссылки в [326]). Этот критерий работает только для двух систем со спином 1/2 или, когда одна система имеет спин 1/2, а вторая - спин, равный 1. При отсутствии более общего аналитического критерия, наш вычислительный метод дает способ решения этой проблемы.
В заключение этого раздела упомянем понятие аддитивность, как важное свойство меры перепутывания, т.е.
Е(ап®ам) = Е(ап) + Е{ам) , (6.49)
где системы 1 + 2 и системы 3 + 4 перепутаны отдельно друг от друга. Точное определение того, что стоит в левой части этого равенства:
( Л
?(ст12®ст34) = min S ап®а1А\\^Р{р[ъ^Р
Pi 'Р\Ъ'Р“1А
24
У
(6.50)
Почему нам следует выбрать именно эту форму? Прежде всего нужно было бы предположить, что с12® аъл следует минимизировать по состояниям в форме (Ър.рt<8) /У2)®(2^ру?3® piA). Однако, Алиса и Боб также могут выполнить произвольную унитарную операцию над их системами (т.е. локально). Это, очевидно, приводит к образованию перепутывания между 1 и 2, а также между 3 и 4 и отсюда - к форме (6.50). Конечно, как можно заметить из приведенного выше доказательства, аддитивность для чистых состояний уже существует, когда наша мера уменьшает энтропию фон Неймана. В более общем случае мы не в состоянии обеспечить какого бы то ни было аналитического доказательства, поэтому упомянутое выше свойство остается лишь предположением. Однако, для двух систем со спином 1/2, наша программа не нашла никакого контр-примера. Поэтому, мы будем полагать, что это свойство существует. Прямым свойством этого факта, а также условия ЕЗ, является то, что относительная энтропия перепутывания служит верхней границей эффективности любой процедуры очищения. А именно, если мы начинаем с п пар в состоянии о и получаем т синглетов в качестве результата процедуры очищения, то
п хЕ(сг) >тЫ2 , (6.51)
т.е. эффективность т!п всегда ограничена фактором Е(о) . Поскольку Е(о) может быть меньше, чем перепутывание формирования, это подразумевает, что перепутывание формирования и очищения не обязательно совпадают.
6.4.6 Статистическая основа меры перепутывания
Посмотрим теперь, как можно интерпретировать нашу меру перепутывания с экспериментальной точки зрения, т.е. статистически [327].
Характеристики перепутывания 275
Сначала покажем, каким образом в классической теории информации возникает понятие относительной энтропии, как меры различимости двух возможных распределений. Затем мы обобщим эту идею на квантовый случай, т.е. на различимость между двумя квантовыми состояниями (дискуссию о различимости чистых квантовых состояний можно найти, например, в работе [328]). Мы увидим, что это естественно ведет к понятию квантовой относительной энтропии. Далее уже нетрудно распространить эту концепцию для объяснения перепутывания. Предположим, что мы хотели бы проверить является ли данная монета «честной», т.е. описывается ли распределение «орел-решка» функцией /= (1/2, 1/2). Если центр тяжести монеты смещен, то мы получим какие-то другие распределения, скажем, uf = (1/3, 2/3), поэтому наша задача о честности монеты сводится к тому, насколько хорошо мы сумеем различить два данных распределения вероятности за ограниченное число экспериментов п. В случае с монетой мы должны подбросить ее п раз и записать количество нулей и единиц. Какова вероятность того, что честная монета будет названа нечестной, имеющей распределение (1/3, 2/3), при п испытаниях с честной монетой? Для большого п ответ дает теорема Санова [327, 329]:
р(честн. —> нечестн.) = е~п5‘‘СчГЮ , (6.52)
где
Scl(uf || /) = 1/3 In 1/3 + 2/3 In 2/3 -1/3In 1/2 - 2/3In 1/2
- классическая относительная энтропия для этих двух распределений. Поэтому, 5
\ ------П
ручестн. —> нечестн.) = 3"2 3 , (6.53)
что экспоненциально стремится к нулю при л->оо. На самом деле мы видим, что уже после ~ 20 испытаний вероятность ошибки при идентификации двух распределений ничтожно мала и составляет <10~10.
Поэтому в квантовой теории мы формулируем теорему, аналогичную теореме Санова (см также [327])
Теорема (квантовая теорема Санова). Вероятность не различить два квантовых состояния (т.е. матрицы плотности) сир после п измерений равна
/?(/?-> о-) = е^(ст||/,) . (6.54)
Можно с определенностью утверждать, что эта формулировка дает нижний предел вероятности спутать сир после проведения п измерений над р [327]. В действительности, как было доказано в [330], эта граница достигается асимптотически, а соответствующие измерения являются проекторами независимо от состояния а [331]. Теперь ин-
276 Квантовые сети и многочастичное перепутывание
терпретация относительной энтропии становится абсолютно прозрачной [327]. Вероятность ошибочной идентификации перепутанного состояния а от ближайшего распутанного состояния р есть
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 151 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed