Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
6.4.4 Дее меры расстояния между матрицами плотности
Сначала мы установим, что Е1-Е4 поддерживают квантовую относительную энтропию, т.е. D(a ||р) = S(cr ||р): = Тг{а{1па - 1пр)} [322]. Заметим, что квантовая относительная энтропия не является истинно метрической, т.к. она несимметрична и не удовлетворяет двойному неравенству. Причины этого факта будут четко установлены в следующем подразделе. Возникает вопрос, почему перепутывание не определяется как Е{а) = minS^cr ||р)? Поскольку квантовая относительная энтропия асимметрична это приводит к результату, отличному от первоначального определения. Однако, основная проблема этого определения состоит в том, что для максимально перепутанных состояний такая мера бесконечна. Хотя это действительно имеет разумную статистическую интерпретацию (см. следующий раздел), ее трудно отнести к какой-нибудь физически оправданной схеме (как, например, к процедуре очищения перепутывания). Сказанное служит главной причиной, по которой такая форма будет исключена из дальнейшего рассмотрения. Мера перепутывания, генерируемая квантовой от-
272 Квантовые сети и многочастичное перепутывание
носительной энтропией, будет, в дальнейшем, рассматриваться как относительная энтропия перепутывания. Важным результатом является следующая
Теорема (доказательство см. в [322]). Для чистых состояний относительная энтропия перепутывания равна редуцированной энтропии фон Неймана.
Физически это очень полезное свойство меры перепутывания, поскольку хорошо известно, что для чистых состояний редуцированная энтропия фон Неймана служит хорошей мерой перепутывания.
Мы также выделим другой важный результат, состоящий в том, что перепутывание формирования Ее никогда не может быть меньше, чем мера относительной энтропии перепутывания Е. Позже мы покажем, что это свойство имеет важное следствие', величина перепутывания, которую мы хотим ввести для создания данного квантового состояния, обычно больше, чем то перепутывание, которое можно получить используя методы очищения квантовых состояний.
Теорема. Ec(cr)< E(cr) = mincer ||р).
pz. ъ
Добавим, что и перепутывание формирования, и относительная энтропия перепутывания могут быть просто вычислены для диагональных состояний Белла [321]. Оказывается, что для этих состояний перепутывание формирования оказывается значительно больше, чем относительная энтропия перепутывания.
«Закрытая форма» для относительной энтропии перепутывания пока неизвестна, и необходим компьютерный поиск для нахождения минимума р для каждого данного ст. Однако, используя методы, рассмотренные в следующем разделе, мы можем очень эффективно численно оценить величину перепутывания для двух частиц со спином 1/2.
Пример меры перепутывания, которая удовлетворяет условиям Е1-ЕЗ, но не удовлетворяет Е4, дается (модифицированной) метрической мерой Бюрса, т.е. когда Z)(cr \\р) = DB(a ||р): = 2 - 2F'(cr,p), где F(cr,p): = [Tr{\[pcTsJ~p}1/2]2 - так называемое качество (для вероятности перехода Ульманна). Мы можем, как и в случае квантовой относительной энтропии, рассчитать меру перепутывания для некоторых простых состояний. Например, для максимально перепутанных состояний, получаем Е = 1. Следуя логике приведенных выше аргументов, можно показать, что для общего чистого состояния а|00) + /3| 11)8 перепутывание оказывается равным 4а2/?2. В общем же, необходим компьютерный поиск, как и в предыдущем случае. Обратимся теперь к
8 То, что это, в действительности, наиболее общая форма, можно увидеть из разложения Шмидта [317].
Характеристики перепутывания 273
описанию такого общего компьютерного расчета для относительной энтропии перепутывания.
6.4.5 Численный расчет для частиц со спином 1/2
Поскольку не существует закрытой аналитической формулы для относительной энтропии перепутывания, мы должны прибегнуть к численному поиску, чтобы найти перепутывание общего квантового состояния а. Такой поиск может быть эффективно выполнен при использовании результатов конвекционного анализа [325]. В последующем, мы используем одно базовое определение и один важный результат конвекционного анализа [325]. Отталкиваясь от них, мы сконцентрируемся на квантовой относительной энтропии как мере перепутывания, хотя большая часть наших рассуждений имеет более общую природу. Для нашей проблемы минимизации, принципиально важной является следующая теорема, поскольку в ней доказывается, что для поиска нам не нужен бесконечный набор параметров в разложении распутанного состояния (6.45).
Теорема Каратеодори. Пусть А с RN. Тогда любой хесо(Л) представим в форме
N+1
где
N+1
*Рп= 1
п=]
и для п - 1,...., N+ 1 ,рп~2. О, а апе А.
Прямое следствие теоремы Каратеодори состоит в том, что любое состояние в 2) может быть разложено на сумму не более чем
(dim(//1) х dim(tf2))2
произведений чистых состояний. Поэтому, для двух частиц со спином 1/2 имеется не более 16 членов в разложении любого распутанного состояния в (6.45). Вдобавок, каждое чистое состояние можно описать, используя два действительных числа, так что в этом случае всего имеется не более 15 + 16 х 4 = 79 действительных параметров, необходимых для полного задания распутанного состояния.
