Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому, экспериментальные результаты нарушают неравенство
(6.37) на 9 стандартных отклонений, что подводит итог демонстрации противоречия с локальным реализмом. Необходимо подчеркнуть, что
(6.37)
- (ххх)| < 2.83 ±0.09 .
(6.38)
264 Квантовые сети и многочастичное перепутывание
рассмотренные тесты не выносят окончательного вердикта теориям, основанных на локальном реализме. Определенные «лазейки» все еще остаются открытыми, поскольку не было выполнено экспериментов с высоко эффективными приемниками, разнесенными на большое расстояние.
6.4 Характеристики перепутывания
В.Ведрал, М.Б.Пленио, П.Л.Найт
6.4.1 Разложение Шмидта и энтропия фон Неймана.
Смешанная квантовая система - это такая сиетема, которая состоит из множества квантовых подсистем. Когда эти подсистемы являются перепутанными, ни к какой из них невозможно приписать определенный вектор состояния. Простой пример смешанной квантовой системы представляет собой пара перепутанных по поляризациям фотонов (см. разд. 3.4.4). Такая смешанная система математически записывается как
Свойство, которое здесь записано, состоит в том, что направления поляризации двух фотонов ортогональны вдоль любых осей7. Из выражения (6.39) можно сразу заметить, что никакой из фотонов не обладает определенным (поляризационным) состоянием. Лучший способ это показать состоит в том, что выполнив измерение над одним фотоном и, скажем, в результате которого будет обнаружена вертикальная поляризация (|F)), мы найдем, что другой фотон окажется поляризованным горизонтально (|#)). Однако, такой тип описания не может быть использован для общих смешанных систем, до тех пор, пока он не будет представлен в определенной форме. Это стимулирует нас к введению так называемого разложения Шмидта [317], которое оказывается удобным не только с математической точки зрения, но также дает глубокое понимание корреляций между двумя подсистемами.
Разложение Шмидта показывает, что любое состояние двух подсистем А и В (одна - размерности N, а другая - размерности М< N) может быть записано в виде
(6.39)
(6.40)
7т.е. в любом поляризационном базисе (Прим. переводчика).
Характеристики перепутывания 265
где {|и>} представляет собой базис для подсистемы А и {|v.)} - базис для подсистемы В. Имеется два важных замечания, которые должны быть сделаны и которые являются абсолютно фундаментальными для понимания корреляций между двумя подсистемами, находящимися в совместном чистом состоянии:
• Редуцированные матрицы плотности обеих подсистем, записанные в базисах Шмидта, диагональны и имеют одинаковые положительные спектры. Мы находим, что редуцированная матрица плотности подсистемы А, найденная как след совместного состояния рА = |Ч^В) по всем состояниям подсистемы В, имеет вид
¦ Если подсистема имеет размерность N, она может быть перепутанной не больше чем с N ортогональными состояниями другой системы.
Мы хотели бы подчеркнуть, что разложение Шмидта, в общем, невозможно выполнить для более чем двух перепутанных подсистем. Математические детали этого факта изложены в [318]. Для внесения ясности, мы однако, рассмотрим, как пример, три перепутанных подсистемы. Мы хотим записать общее состояние так, чтобы при наблюдении состояния одной из подсистем, результат мгновенно и с достоверностью говорил о состоянии двух оставшихся подсистем. Но это невозможно в общем случае, поскольку можно выполнить измерение одной из трех подсистем, такое, что оставшиеся две подсистемы будут являться перепутанными системами (см. разд.6.3.4). Очевидно, что вовлечение в рассмотрение большего числа подсистем еще более усложнит анализ. Такой же аргумент относится и к смешанным состояниям двух или более подсистем (т.е. состояний, для которых и р2фр), т. е. для которых мы не можем написать в общем случае разложение Шмидта. Единственная причина, приводящая к этому факту, состоит в том, что перепутывание двух подсистем в чистом состоянии понять и количественно описать очень просто, в то время как для смешанных состояний, или состояний, состоящих более чем из двух подсистем, проблема оказывается гораздо более сложной.
Для количественного описания перепутывания в чистом состоянии двух подсистем мы введем следующую «меру неопределенности» квантового состояния системы.
Определение. Энтропией фон Неймана квантовой системы, описываемой матрицей плотности р, называется
(6.41)
Ч
Р
Аналогично, находим рв= Z |с |2 |v )<v |.
о Р Р Р
р
266 Квантовые сети и многочастичное перепутывание
SN(p)-=-Tr{plnp) ¦ (6-42)
(Мы будем опускать индекс N везде, где это не приводит к неясности). Таким образом, перепутывание между А и В можно понимать следующим образом. Неопределенность в системе В до измерения в А есть S(pB), где рв - это редуцированная матрица плотности системы В. После измерения неопределенность исчезает, т.е. мы получаем {|гл)} для А и затем мы узнаем, что состояние В есть {|v )}. Поэтому приобретенная информация составляет S(pB) = S(pA) . Таким образом, А и В становятся наиболее перепутанными, когда их редуцированные матрицы плотности максимально смешаны. Конкретно, для системы из двух кубитов, получаем, что максимально перепутанное состояние имеет вид (|00) + 111))/ ~4l.
