Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
^1,2/с. Поэтому
a) r= h~h
A t + (/1 - I2) / с
где At = - t\ - промежуток времени между вспышками,
зарегистриро-
ванный наблюдателем. Записав (1) в виде
(2) h ~ h = . \т/ At = КАt,
1 - V/c
замечаем, что коэффициент пропорциональности между расстоянием I1 - I2 и
временем At ("кажущаяся" скорость ]/* = V/(1 - V/c)) превышает скорость
света при V > с/2. "Кажущаяся" скорость и "кажущееся" положение объекта
возникают из-за того, что наблюдатель видит положение объекта не в момент
наблюдения, а в предшествующий момент t - I/с из-за конечного значения
скорости света.
Аналогичный эффект конечности скорости звука хорошо заметен при
наблюдениях за движением сверхзвукового самолета: звук отстает от
самолета и приходит к наблюдателю из точек траектории, находящихся позади
самолета.
Момент прибытия корабля: t* = т\ + h/V = Т2 + h/V. Все времена здесь
определены в одной системе отсчета - системе наблюдателя.
3.47. Для определения искомых длин мы располагаем тремя величинами: двумя
скоростями с, V и промежутком времени At между посылками сигналов.
Обозначим времена отражения сигналов от заднего и переднего зеркал
соответственно через т\ и Т2 (в системе наблюдателя). Положения корабля в
моменты т\ и Т2 изображены на рис. 3.17. Времена испускания сигналов:
(л\ , 1 + а . l - VAr д
(1) t\=r\-------, t2 = r2-------------------------------р:-, At = t2-
ti.
274
Глава 3
=ш_
гдтГ
Рис. 3.17
Времена возвращения сигналов к наблюдателю:
т\ +> ~ I I +а +! I - VАт
{*) t\=Ti Н----, t2 = т2 Н----------.
Из условия t'x = ^2 находим а = (с - V)At и из (1) получаем время между
посылками сигналов наблюдателем: At = = 2Дт, т. е. Ат =
At/2.
Из этих данных и рис. 3.17 находим
(3) а* = а + УАт = _ffl = |сAt, a=|(l-^)cAi.
"Кажущаяся" длина а* корабля из-за конечности скорости света больше, чем
его "истинная" длина а в системе наблюдателя.
Длина корабля а$ в собственной системе связана с его длиной а в системе
наблюдателя лоренцевой формулой (3.12). Используя (3) и (3.12), находим
1 ll-V/c
Вопреки интуитивному представлению о лоренцевом сокращении масштабов,
собственная длина корабля ао меньше его "кажущейся", т. е. "видимой" (с
помощью приборов) длины а*. Этот "парадокс" объясняется использованным
способом измерения длин с помощью световых сигналов и конечностью
скорости света. При с -> оо все три рассмотренные выше длины совпадают.
Случай корабля, удаляющегося от наблюдателя, получается из рассмотренного
заменой V на - V. При этом кажущаяся длина а* становится меньше двух
других длин, а связь между а и ао остается прежней.
3.48. Пренебрегая собственным размером корабля, рассмотрим его движение
на отрезке I <С L. В этих условиях лучи, проведенные из начала и конца
отрезка I к наблюдателю, можно считать параллельными. Свет, испущенный в
начале отрезка I (момент т\) будет зарегистрирован наблюдателем в момент
t\ = т\ + (L +1 cos а)/с. Свет, испущенный в конце отрезка
3.3. Ответы и решения
275
(момент т2) придет к наблюдателю в момент t2 = т2 + L/с (см. рис. 3.9).
Поскольку I = V Ат, At = t2 - t\ = Дт(1 - F cos а/с). "Кажущаяся"
скорость
(1) г=-^ =____и_______ д=Х
1 j * At 1 - /3 cos a ' ^ c'
Проецируя вектор V*, направленный вдоль V, на направление луча и на
перпендикулярную лучу плоскость, получаем
/0\ тг ]/cosa тг V sin a
\2) V*\\ = л--о------? '/*-L = i--Б-------•
11 1 - р cos a 1 -pcosa
При 7 = (1 - /З2)-1/2 > 1 иа< 1 имеем
(3) К|| = JCM 2, V,x = 2
7 + a 7 + a
и, следовательно, К||тах ~ 2с72 > с, К±тах ~ С7 " с. Сверхсветовые
скорости макроскопических объектов (облаков релятивистской плазмы)
неоднократно наблюдались в астрономии. По-видимому, их происхождение
объясняют формулы (1)-(3).
3.49. Пусть в системе отсчета S', связанной со средой,
распространяется плоская волна с частотой си' и волновым вектором
к' =
= (fc'cosa', fc'sina', 0), к' _L Oz. Фазовая скорость волны v' = с/п =
ио'/к' в системе S' не зависит от угла а', определяющего направление
распространения волны. Компоненты поля пропорциональны e~lkiX\ где к'~(^-
, - k'^j.
Так как фаза к^хг = к[х'г - инвариант относительно преобразования
Лоренца, то кг представляет собой 4-вектор (волновой 4-вектор). Используя
(3.20) и (3.24), мы можем найти компоненты кг в системе S, относительно
которой среда движется со скоростью V || Ох, откуда
(1) си = jcu'(1/Зп cos а'),
(2) tga =
7(cosa' + (3/п) '
(3)
in 1 + f3n cos a
v = - = c-k
^Jn2 + 2/3ncosa' + j32(l - n2 sin2 a')
276
Глава 3
_ i
где (3 = У/с, 7 = (1 - /З2) 2 . Из (3) видно, что фазовая скорость волны
относительно системы S зависит от направления распространения. Возникает
своеобразная анизотропия, связанная с движением среды.
3.50. Искомую скорость можно найти по формуле (3) предыдущей задачи
1 + (Зп(Х') ^ с , тлЛ 1
п(\') +/3 п(Х') \ п2(Х')
Здесь Л' = 27гс/а/, оо' - частота, наблюдаемая в системе S', относительно
которой среда покоится. По формуле (1) предыдущей задачи находим с
точностью до членов первого порядка по V/c:
