Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
телесный угол dCl. Поэтому с помощью формулы из ответа к предыдущей
задаче получим
(1 [3 cos tf )2 72[1 - (1 - 7-2)1/2 costf]2 '
где tf - угол между направлением наблюдения и скоростью источника.
Угловое распределение света становится анизотропным по мере роста /3 =
v/с
Рис. 3.12 а
(см. рис. 3.12 а, на котором представлена функция /(tf) для 7 = 1,0, 1,5,
2,0. Угол измерен в радианах). При 7 1 распределение становится
резко
анизотропным, так что в направлении относительной скорости излучается
подавляющая часть света: /(0)//(7г) " 472 1. Функцию
распределения
при углах tf <С 1 можно упростить путем разложения cos tf в ряд:
№ = 2/ 24 а2.2-72(7 +1? )2
Из последней формулы следует, что любой источник света, движущийся с
релятивистской скоростью, будет в основном излучать вперед по движе-
3.3. Ответы и решения
267
нию внутри конуса с углом раствора
0о ~ 7-1 < 1?
если его излучение в системе покоя не сильно отличается от изотропного.
3.35. к = 7 (к0 + + ^(fco х V) х V.
3.36. Если too - частота в той системе, где источник покоится и V -
скорость источника относительно приемника света, то приемник
зарегистрирует меньшую частоту со = coo\/l - V2/с2 (красное смещение).
Угол а луча с направлением движения источника в системе его покоя
определяется формулой
cos а = --^г-
Угол а близок к 90° только при V <С с. Если V -> с, то а -> тт.
"'•а )Л = Л"^/^?; S)A = ^i±^.
лЛ-/?2 т т (1 - /з2)2
3.38. со = со о---5--, J = Jq-
1 -/3cos(c)' (i - /3cos(c))2
Частоты совпадают, со = со о, при 0 = 0о, где cos 0 = (1 -д/l - ft2)/
ft',
при этом J = Jo д/l - ft2 • Интенсивности сравниваются, J = Jo, при 0 =
8
= 01 < 0о, cos01 = [1 - (1- ft2)4}//3. Когда источник света находится
далеко от наблюдателя, приближаясь к нему, так что 0 < 0о, частота со >
со о из-за эффекта Доплера ("фиолетовое" смещение). Если к тому же 0 <
01, то интенсивность J также превышает Jo - движущийся источник выглядит
более ярким, чем неподвижный. Интенсивность максимальна при 0 = 0
з
и составляет Jmax = "/о(1 +ft)2 /лЛ - ft- При 0 = 0о частота со < соо, и
наблюдатель видит "красное" смещение; интенсивность света теперь меньше,
чем у неподвижного источника. Эти эффекты особенно заметны при V ~ с,
когда
11 + ft т (1 + /3)2
^max - ^0\ Т ^ ^0 И dmax - ^о ~ J0,
2
268
Глава 3
а угол
1
0 " у/2(1 -РУ < 1,
так что покраснение света начинается, когда источник находится еще далеко
от наблюдателя, приближаясь к нему Это происходит, начиная с расстояний I
" d/0ci-
Число фотонов, излучаемых в единицу лабораторного времени в интервале
углов 0 < 0 < (c)о, есть
(c)о
АТ 7 (Л PL^\ I 2тг sin (c) dO Г)^ 7 .* Гл Pi2 л/1 @
= Jo(1 -0 Ч (l-pcoser 2'J"V1-'3 ------------------------3--------
о
= 2irJ$\J 1 - /32(1 + cos (c)о),
а в интервале (c)о < 0 < 7г
N2 = 2wJ0^l-f32^1 13 1 + /3- = 27tJq- /32(1 - COS0O).
Очевидно, что TVi + TV2 = 47rJo\/l - ft2 соответствует полному числу
фотонов, излучаемому в единицу времени по всем направлениям. N\ и N2
равны между собой при (3 <С 1, когда cos (c)о ~ 0. Если же /3 приближается
к единице, то Ni делается много больше, чем N2. Таким образом в этом
ультрарелятивистком случае подавляющая часть света излучается в узком
конусе 0 < (c)о, испытывая при этом фиолетовое смещение.
3.39. Используя решение предыдущей задачи, получим
(1-/32)2
I = Jhuj = /о
(1 - /3 cos(c))
СИЗ'
где /о = Johuo - изотропно распределенная сила света в системе покоя
источника. Полный световой поток
7Г
Ф = [l<Kl = 2тг/0(1 - /З2)2 ( sinf(Ю = 4тг/0 = Ф0 J J (1 -
/3 cos(c))3
4тг 0 4 '
одинаков в системе покоя источника и в лабораторной системе.
3.3. Ответы и решения
269
3.40. Введем систему S', связанную с зеркалом (S - лабораторная система).
Обозначим через и а2 углы, образуемые волновыми векторами к!х и к'2
падающей и отраженной волн с направлением скорости V зеркала (рис. 3.13).
Частоту до и после отражения будем обозначать ио'х и со2 соответственно.
Аналогичные величины в системе S будем обозначать теми же буквами без
штрихов. Будем исходить из известных законов отражения в системе S' : со[
= со'2 = со' и а'9 = 7Г - а'
откуда cosol'2 = - cosct[.
i>
Выражая со' через со, cos а' через
Рис. 3.13
cos а с помощью формул (3.20)
и (3.24) и решая получившиеся уравнения относительно со2 и cos а2, найдем
СО2 = со 1 -
(1 + /З2) cos OL\ - 2/3 1 - 2/3 cos ai + /З2 1 - 2/3 cos ai + /32 1-/32
0,
Если /3 -> 1, то при нормальном падении на удаляющееся зеркало со2 а при
нормальном падении на приближающееся зеркало со2 ^ оо.
3.41. со 1 = CJ2-
Угол падения равен углу отражения.
3.42. Изображение создается квантами света, одновременно достигающими
фотопластинки. Но эти кванты испускаются точками движущегося тела, вообще
говоря, неодновременно. Это происходит как вследствие неодинаковости
расстояний различных точек тела до фотопластинки, так и из-за того, что
события, одновременные в одной системе отсчета, неодновременны в другой.
Поэтому изображение движущегося предмета будет не таким, как изображение
