Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Результат:
(7-1)(гЛ V)V (г/- V)v'
ь = ~ЫЬ' -
'У s
где
5 = 1 +
7W2
vr • V
ООО 1
7 sc
Из этих формул видно, что если в одной системе отсчета частица движется с
постоянным ускорением г/, то в другой системе отсчета ускорение v, вообще
говоря, зависит от времени (так как в формулы преобразования входит
переменная скорость vr частицы).
< 0, т. е.
3.22. WiW% = -76 (М X 1 (М | II 1 i)2+12v2il
С
четырехмерное ускорение - пространственноподобный вектор.
262
Глава 3
3.23. Пусть S" - мгновенно сопутствующая частице система. Согласно ответу
к задаче 3.21,
(1)
г/ = 72
v +
7-1
(г; • v)v
Отсюда квадрат ускорения
(2)
j2(v • V)2
= 7
V - V
Если скорость частицы меняется только по величине, то w || v и
(3)
• / 3 •
v = 7 и.
Если скорость частицы меняется только по направлению, то v JL v nv-v = О,
так что
(4)
г/ = 72?).
Результат (2) можно получить и другим, более простым способом,
воспользовавшись выражением квадрата четырехмерного ускорения, найденным
в предыдущей задаче. Квадрат WiW% является четырехмерным инвариантом. Это
значит, что вычисление WiWг как в системе S, так и в системе S' должно
дать один и тот же результат. Замечая, что скорость частицы vf = О,
получим формулу (2).
3.24.
v(t) =
wt + Vo/^jl - (г>0/с)2
x(t) =
y/l + (wty/c1 + (v0/c)2/(1 - г>2/с2)]2'
Vo IС
\
1 H-----о ( wt +
1 - Vq/с2 ) 1 - Vq/с2
В ультрарелятивистском пределе:
г>(?) ~ с, ж(?) ~ ct - с2/w.
В нерелятивистском пределе:
г?(?) = г>о + x(t) = xq vqt + ^ги?2.
+
3.3. Ответы и решения
263
3.25. Время разгона по часам в неподвижной системе:
у
Гр 1 f dv v лтп
1 = - / -------------- = -----, = 47,5 лет.
н/ (1 -vyci)l НчЛ-"2/^
Время разгона по часам в системе, связанной с ракетой,
1 + v/c
г = -гг = 1п 2Ш
1 - v/c
= 2,5 года.
3.26. Формулы (1) описывают преобразование Лоренца с малой относительной
скоростью Av и поворот на угол Аср = \Аср\, причем ось вращения проходит
через начало координат и параллельна вектору Аср. Эти преобразования
вследствие малости Av и Аср могут производится в любой
последовательности. Таким образом, мгновенно сопутствующая система
является вращающейся. Это вращение представляет собой чисто
кинематический релятивистский эффект и называется прецессией Томаса (см.
задачу 3.17).
При <С с формулы (2) принимают вид
Av " 5v, Аср " ~^5v х v.
2с
В этом пределе величину
1 •
^ = ~St=^vxv
можно рассматривать как угловую скорость томасовской прецессии мгновенно
сопутствующей системы относительно лабораторной системы S.
3.27.
v cos д- + V
3.28. В системе S: cos а = Vl ,V2,. В системе S' :
\Vi\\V2\
(t)i - V) • (г>2 - V) - 4г(г>! х V) • ("2 х V)
I С
COS OL = -- ¦
^(V! - V)2 - X vy^j(v2 - V)2 - ^("2 X V)2
264
Глава 3
3.29. Угол в системе S' стремится к нулю. Для того чтобы убедиться в
этом, положим V = Vос, где |Vo| = 1. Вычислим cos а' по формуле,
полученной в предыдущей задаче. Воспользовавшись тождеством
(а х Ь) • (а\ х Ъ\) = (а • а\)(Ъ • Ъ\) - (а • Ъ\)(а\ • b),
получим
С2 - V! ¦ v - V2 ¦ v + \{Vl ¦ V)("2 • V)
п
= 1,
V/cf V/cf
откуда a' = 0. Это сужение углового распределения является характерным
релятивистским эффектом, проявляющимся во многих явлениях.
^ (tm) Q cos &' + (3
3.30. cos v =
1 + /3 cos &'
3.31. Определение угла аберрации сводится к вычислению двух углов (рис.
3.12.): угла а\ между направлением луча АС и направлением скорости v
Земли в первом ее положении и угла между направлением ВС
Рис. 3.12
луча и направлением скорости v' Земли во втором ее положении (через
полгода). Угол аберрации 8 можно определить как 8 = (7г - а2) - ai = = 7г
- а\ - а2. Углы а\ и а2 вычислим по формулам задачи 3.27, выразив
3.3. Ответы и решения
265
их через угол $, который наблюдается в системе отсчета, связанной с
Солнцем, между лучом ОС света и вектором скорости Земли:
Заметим, что все три угла между скоростями, изображенные на рис. 3.12,
относятся к разным системам отсчета и что сам рисунок условен (например,
изображенные на нем отрезки АС = СО = СВ = с).
Из полученных результатов видно, в частности, что угол аберрации 5
зависит только от относительной скорости v Земли и Солнца и не зависит от
скорости Солнечной системы относительно звезды.
3.32. Если положение Земли на орбите определяется азимутальным углом
(риа=(0, вектор, проведенный из точки ($, а) небесной
сферы в точку видимого положения звезды на небесной сфере, то
Отсюда видно, что видимое положение звезды на небосводе в течение года
описывает эллипс с полуосями /3 cos $ и /3.
3.33. Рассмотрим в системе S пучок внутри телесного угла dft = = sin
tid'd da. В системе S' этот пучок будет наблюдаться внутри
, / \ 1 slu'd , / \ 1 slu'd
Отсюда находим
= -/3cos'd • sln(a - <?>), = -/3cos(a - (f).
угла dft' = sin d' d'd' da'. Угол a = а', a cos'd' =
cos 19-/3 1 - /3 cos ft '
Отсюда
1 - в2
dft' = sin d' d'd' da' =----------------^-------- dft.
(1 -/3costf)2
При этом, разумеется, f dft' = f dft = 4тг.
266
Глава 3
3.34. В системе S та же доля dN от полного излучения придется на другой
