Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(см. пример 2.11). Таким образом, Н = 0 всюду в пространстве, и решение
задачи единственно.
2.84.
Hz = ^^(cos6>i+cos6>2),
где
cos Oi = - ^ г , cos #2 = --====
д/а2 + (h - z)2 л/а2 + z2
(см. рис. 2.20).
2.85. Решим задачу с использованием векторного потенциала. Плотность
поверхностного тока от вращения сферы в сферической системе координат с
полярной осью вдоль Сс? имеет вид
192
Глава 2
Векторный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, а на поверхности
сферы - граничному условию, следующему из (2.57). В силу симметрии тока
векторный потенциал можно выбрать так, чтобы была отлична от нуля только
компонента Аа, не зависящая от а. Уравнение для нее записываем с
использованием формул (1.279):
(2) ААа -
Рис. 2.20
г2 sin2 т9 Ищем решение в форме
(3) Аа = F(r) sin $
Аа =0.
удовлетворяющей условию div А = 0. Определяя F(r) с помощью уравнения (2)
и граничных условий, находим Аа и Н = rot А:
н =при г < а; Н = 3 са
3г(т • г)
га
при г > а.
Здесь
га =
еа2ио
3 с
- магнитный момент системы (см. задачу 2.86).
2.86. Запишем с помощью дельта-функции ток вращающейся сферы (см. формулу
(1) в решении предыдущей задачи) через его объемную плотность:
3 = ес
есо
47га3
sin$ 5 (г - а).
С помощью формулы (2.59) находим магнитный момент га = еа2сс?/3с,
полученный в предыдущей задаче другим способом. При распределении заряда
равномерно по объему получим га = ea2uj/bc. Магнитное поле, найденное по
приближенной формуле (2.59), во внешней области г > а совпадает с точным
решением.
2.88. Подставив в (2.59) выражение (2.39) для плотности тока, создаваемой
точечными частицами, получим
2.4. Ответы и решения
193
где ра = mava - импульс отдельной частицы. При еа/та = е/т получаем
формулу (2.61), определяющую магнитный момент системы частиц,
обусловленный их движением в пространстве.
Следует иметь в виду, что магнитный момент является важнейшей физической
характеристикой, присущей как многим макроскопическим телам (постоянным
магнитам, земному шару, Солнцу и звездам), так и почти всем
микрочастицам, заряженным (электроны, протоны, атомные ядра) и
электронейтральным (нейтроны, атомы). Внутренние моменты микрочастиц
называются спиновыми, они не связаны с их движением как целого и
обусловлены особенностями (во многих случаях неизвестными) их внутренней
структуры. Между спиновыми магнитным ms и механическим Ls моментами
выполняется соотношение типа (2.61),
однако коэффициент пропорциональности r]s не совпадает с г] = е/2 тс и
различен для разных частиц. Спиновый магнитный момент представляет собой
квантовое явление, не объясняемое классической электродинамикой.
2.90. т = fiB^z, где рв = ^ с ~ 0^ х Ю-20 эрг/Гс - магнетон Бора.
2.91. т = fis.
2.95. В точках, где j = 0, можно положить Н = - grad?/'. Тогда уравнение
rot Н = 0 выполняется при всех ф, а уравнение div Н = 0 дает
Аф = 0.
ms = r]sLs,
2.89. т = -±-
2.92. Н{0) = -^^ez, т = 6^вег.
405а
2.93. т =
т
2.94. т =
л ^ 1
и. (i + ?)
1/2
Последнее уравнение должно быть решено при дополнительном условии
194
Глава 2
где I - любой замкнутый контур, охватывающий ток $. Вводим цилиндрические
координаты г, a, z и ищем решение в виде ф = ф(а).
Окончательно получим
ф - р ol, На - , Нг - Hz - 0.
2.96. а) Чтобы скалярный потенциал ф магнитного поля был однозначной
функцией, выберем некоторую поверхность S, опирающуюся на
контур с током, и будем считать, что при переходе через эту поверхность ф
терпит разрыв:
(1) ф{ 2)-<К1) = ^/.
Точки 1 и 2 лежат бесконечно близко друг к другу по разные стороны
поверхности, причем направление из 1 в 2 составляет с направлением тока
правовинтовую систему (рис. 2.21).
Решение уравнения Лапласа можно записать в виде (см. пример 2.4):
(2)
г дп дп \ г
dS.
В выражении (2) интегрирование нужно проводить по бесконечно удаленной
замкнутой поверхности S', а также по всем замкнутым поверхностям Е^,
лежащим на конечном расстоянии от начала координат, внутри
/ ^ о
которых ф или имеют разрывы. В рассматриваемом случае интеграл
по бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так как источник поля
(контур с током) имеет ограниченные размеры. Поверхности, на кото-
дф
рых нормальная производная - = -Нп имеет разрыв, отсутствуют, так
как Нп - непрерывная величина. Поэтому в (2) интеграл должен быть взят по
одной поверхности Е до совпадения с S.
2.4. Ответы и решения
195
Будем стягивать ? до совпадения с S. Вследствие непрерывности величин
^,^и^-^^на поверхности S, формула (2) примет вид (з)
где интегрирование теперь ведется по незамкнутой поверхности S. Используя
равенство (1), получим
Интеграл f г ' ^ представляет собою телесный угол Q, под которым виден
г
контур с током из точки наблюдения, поэтому формулу (4) можно записать в
виде
знак Q положителен, если радиус-вектор г, проведенный из точки наблюдения
в некоторую точку поверхности S, и направление тока в контуре составляют
правовинтовую систему.
б) Преобразуем интеграл (2.50') по контуру в интеграл по поверхности,
