Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
неустойчиво.
2.61. U = F =
а а2
2.62. R =
2.63
U =
27Г 27г
/Г K\K2dl\dl2 _ qiq2 f f abdl\dl2
J Tl2 4ir2ab J J c2 + a2 + b2 - 2abcos(ai - аг)
ii I2 00
где интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец dl\ и dl2,
а\ и 0L2 - углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по da2 и
делая замену а\ = тг - 2а, получим
u = M^K{k)j
7г Vab
где
7Г
2
2\/"6 " rsn\ f da
к =
К (к) = J
л/с2 + (a + b)2' J л/l-k2 sin2
полный эллиптический интеграл первого рода.
2.4. Ответы и решения
187
При вычислении силы F = - ttTF нужно воспользоваться
ОС гь ОС
формулой
(см. справочник), где
i2dK(k) Е(к)
2к ----= -Ч* - К (к)
d(k2) 1 -к2 У 1
2
Е(к) = / л/1 - к2 sin2 a da
о
- полный эллиптический интеграл второго рода. Окончательно,
qiq2ck3 Е(к)
F =
з 1 -к2' 47г(аЪ)2
2.64. Р = _Щ^± + Ц, дг=^?.
г5 г'3 г6
- sin $1 sin $2 COS LD - 2 COS $ 1 COS $2 Л // \
2.65. и = P!P2-----------------^---------------, где = Z(r, pj,
r
$2 = Z(r, p2)' P ~ угол между плоскостями (г, Р]_) И (г, р2)'
0 sin sin ^2 cos ю - 2 cos cos $2 F = 3pip2 ----------------------
----------•
Сила максимальна при $1 = $2 = ^ = 0, т. e. при параллельных диполях.
2.66.
U2i = j p(rf)Mr')dVf =
= E J2ITiaim Ir'lY'(tm)W' a')dV' = E
I, m l,m
2.67. Да, при условии jQ • к = 0. В противном случае dp/dt ф 0.
2.68.
Я0сг . п
3г=3$ = о, Ja = sin V при г < а; j = 0 при г > а.
188
Глава 2
2.70.
2 Jr/ca2 при г < а,
Hr = Hz = 0, = 2 J/cr при а ^ г ^ 6,
О при г > Ъ.
2.71. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если
направить ось z вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты Л будут
удовлетворять уравнениям:
Поскольку в уравнении для Ах и Ау заданный ток $ не входит, эти
компоненты можно считать равными нулю; Az будет зависеть только от
расстояния г до оси г. Интегрируя уравнение для Az и используя условия
непрерывности Az и На на границе г = а и ограниченности Н при г = 0,
получим: при г < а
(1)
длж = О, А Ау = 0, длг = -Щ- jz,
причем jz = 0 при г > a, jz = -- при г < а.
са'
при г > а
Константа С - произвольна.
2.4. Ответы и решения
189
Остальные компоненты А и Н равны нулю. Две любые константы, входящие в
Az, можно выразить через третью, использовав условия непрерывности
векторного потенциала на границах.
2.73.
гг / , а -2х . , а + 2х\
х = ~~са~ (arctS ~ + arctS ~) -
2
("+§ у
у2
^ = \~2 ' ^ = 0.
у2
Ось у перпендикулярна полосе и проходит через ее середину.
2.74. Пластины отталкиваются с силой
/ а 171 а2 + Ъ2
a arctg - - -Ъ In -
с2а2 V b 2
2.75.
А? = -- In - = - In
Г2 / , О + Ж)2 + У2
нт =
с Г1 с (а - х)2 + у2 '
cMz _ _ аху
ду
2^2 '
ГГ Г
1' 2
гг ^ 2^ /а - х а -\- х
у-~ дх с \ г2 г2
Координаты проводников с током в перпендикулярной к ним плоскости равны
(а, 0) для тока + $ и (-а, 0) для тока - $; ri и Г2 - расстояния от точек
(а, 0) и (-а, 0) до точки наблюдения.
2.76. а) Между плоскостями Н = -^г, в остальном пространстве Н = 0; б)
между плоскостями Н = 0, в остальном пространстве Н = -^-г. В обоих
случаях магнитное поле направлено перпендикулярно току и параллельно
токонесущим плоскостям.
2 Jd
c(b2 - а2) проведенной через оси цилиндров
2.77. Ну = -----, Нх = Hz = 0; ось у нормальна к плоскости,
190
Глава 2
2.78. В цилиндрической системе координат, ось z которой перпендикулярна
плоскости кольца и проходит через его центр.
1 г
с \т
, Az - Аг - 0,
где К (к) и Е(к) - полные эллиптические интегралы Лежандра, к2 = _ 4 аг
(a + r)2 +z2'
Компоненты магнитного поля:
Нг =
Hz =
2/
2/
г у1 (а + г)2 + z2
1
-К{к) + f + r* + z22E(k) (а - г) + zz
m) + f~%~z\Ew
(a - ry + zz
c у/(a + r)2 + z2 На оси витка (г = 0) эти выражения переходят в
27га2 $
Нг = 0, Hz =--------------
На = 0.
с(а2 + z2) 2
2.79. В любом сечении такой трубки поток магнитного поля один и тот же.
Поэтому уравнение поверхности трубки:
N = J H-dS = /(г, z) = const.
Линии пересечения этих поверхностей с плоскостями а = const и дают
искомые линии магнитного поля.
2.80. Компоненты магнитного поля:
дф ^ ( - 1 ]п _ ч /м\2п
(^1)
п\)'
(-1)
я* = = ?т^гя(2")(2>Ш = я<*> - тя"<г> + •••'
тт _ (_1)П Гтт//^ I
_ _ 9г ~ ^ (п- 1)!п! \2/ _ - 2 ( ) ''' '
71=1 4 У
на = о.
2.4. Ответы и решения
191
Векторный потенциал выражается через напряженность магнитного поля с
помощью теоремы Стокса и соотношения Н = rot А:
Mr. = I jH.rdr = ? = '-H(r)
п п=0 4 '
2.82. Предположим, что существуют два различных поля, Нi и
удовлетворяющие уравнениям (2.51), (2.54) и (2.57) при заданных объемных
и поверхностных токах. Разность напряженностей Н = Н\ - Н2 удовлетворяет
уравнениям
rot Н = 0, div Н = О,
и вектор Н всюду непрерывен. Полагая Н = rot А, получаем
Н2 = H-mtA = div [А х Л"] + А • rot Н = di v[A х Н).
Проинтегрируем теперь обе части последнего равенства по всему
пространству. После применения теоремы Остроградского-Гаусса получим
J Н2 dV = j)[A xH]-dS^> О,
если произведение АН убывает на больших расстояниях быстрее чем г-2.
Последнее условие заведомо выполняется для ограниченной системы токов
