Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
г
распределения на единицу длины, г - радиус-вектор в плоскости ху.
ОО . / \ П
2.40. (p(r, а) = -2ft In г + ^ - ( -у-) cos п(а - а0) при г > г0,
71 = 1 ' '
ОО , / \ п
(р(г, а) = -2к1пг + Y1 п (п)) cosn{a~ao) при г < г0.
71=1 ' '
2 х (х 2т? ¦ г
2.41. <^(r) ~ ---cos а = --, где р - дипольный момент на
г
единицу длины, г - радиус-вектор в плоскости ху (г а), ось z направлена
вдоль одного из линейных зарядов.
2.42. На оси симметрии диска (ось z направлена от отрицательной стороны
диска к положительной):
/ I -У I \
cp(z) = rQ = 27ГГ I 1 -
Ех = Ey = 0, Ez = ¦
VR2 + z2J \z\
2iTa2TZ z\(a2 + z2f/2'
2.43. а) В цилиндрических координатах:
Ea - Er = Ez = 0;
б) ю = 2r(7T - a), Ea = - Er = Ez = 0. Поле E совпадает
r да r
с магнитным полем прямолинейного тока $ = тс.
2.44. Уравнение силовых линий
(z + a) [(z + а)2 + г2] 2 =Ь (z - а) [(z - а)2 + г2] 2 = С,
где С - постоянная. На рис. 2.16 а изображена картина силовых линий для
случая разноименных зарядов. В случае одноименных зарядов в поле имеет
нейтральная точка г = 0, z = 0 (рис. 2.166).
2.4. Ответы и решения
183
2.45. Целесообразно перейти к сферическим координатам. Устремляя а к
нулю, разлагая в ряд и отбрасывая члены порядка а2 и выше, получим г = С
sin2
Рис. 2.16
2.46. г = Су sin $| cos$|, С = const. Не следует забывать, что в случае
квадруполя конечных размеров, полученная формула пригодна только для
больших расстояний (рис. 2.17).
Чо " Ф + V/2('V/2 - l)nq
ZAo. Q2---------------------------.
- 1)тг
2.49*. Рассмотрим силовую трубку, полученную вращением некоторой силовой
линии вокруг оси z. Применив электростатическую теорему Гаусса к объему,
ограниченному боковой поверхностью этой трубки и двумя плоскостями z =
const, не содержащему внутри себя зарядов, найдем, что поток через любое
нормальное к оси сечение трубки Ф(г) = X^^(z)
г
(см. задачу 2.47) не зависит от z (при изменении z между Zk и Zk+1).
Здесь ?}(z) = 27г(±1 - cosai) - телесный угол, под которым видна
отрицательная сторона такого сечения из точки z^, где находится заряд qi\
щ - угол между направлением оси z и радиусом-вектором точки контура
нормального сечения с координатами (г, z). Знак "+" нужно брать при z >
Zi, знак "-" при z < Zi. Если при изменении z нормальное сечение трубки
перейдет через заряд то Ф(z) скачком изменится на ±4irqk, однако при этом
184
Глава 2
не изменится ^^cosa*. Выразив cosa^ через z, Zi иг, получим искомое
г
уравнение семейства силовых линий:
4i(z - Zi)
Е
X1 л/r2 + (z- Zi)2
= С, С = const.
Рис. 2.17
2.51. Выберем цилиндрическую систему координат, ось z которой совпадает с
осью цилиндра (рис. 2.18). Вместо условия (p\s = const на поверхности S
цилиндра удобнее использо-
дср да
В результате дифференцирования получим
К\Х\ К2Х2
= 0.
R +х{ - 2Rxicosa R +х^ - 2Rx2Cosa
Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с cos а и
без него. В результате получим, что при = ft2 эквипотенциальной
поверхностью будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой
параллельна заряженным нитям и лежит с ними в одной плоскости, а радиус
удовлетворяет условию R2 = Х\Х2-При #i=0 существует решение ft2 = 0. Этот
случай соответствует цилиндрическим эквипотенциальным поверхностям в поле
одной нити.
2.52. Воспользуемся рис. 2.19. Радиус R искомой сферы и положение ее
центра определяются уравнениями
R2 = Z1Z2,
?1
ч1
Потенциал на поверхности этой сферы равен нулю.
2.53.
А (р = <2 А-
=
qA-
- 1
q д2
= -47Г qS(r) + ----j = -47Г q5(r) +
qa2e~ar
2.4. Ответы и решения
185
Таким образом, имеется точечный заряд q в начале координат и сферически
симметрично распределенный объемный заряд с плотностью р =
qo?e~cxr г ,
= -щ^' fpdv = ~q-
2.54. Точечный заряд ео в начале координат, окруженный объемным
_ 2г
зарядом с плотностью р(г) = - ~^е а . Такой вид имеет распределение
7г а
заряда в атоме водорода (ср. с задачей 2.15).
2.55. 9 = (р • V)E, N = рх Е.
2.56. й,
5R ' 2R ' i?2 - -Ri \ R2 - Ri Ri
2.57. <71,2 = Д^Д2 + а2 ^д2 + a2Ai 2 _
qa
2.58. U = ffp(r)dV = -4.
2.59. и = ЪеЦАа.
2.60. Необходимым условием минимума потенциальной энергии является
обращение в нуль всех первых производных и положительность всех
186
Глава 2
вторых производных потенциальной энергии по обобщенным координатам при
некоторых значениях координат (в точке равновесия системы):
8U п d2U . п " , 9 одг
п- = о, -т- >0, а = 1, 2, ..., ЗА/,
<9<?2
где 37V - число степеней свободы N точечных частиц. Под qa можно понимать
их декартовы координаты. Выделим некоторую частицу и припишем ей
координаты gi, ^2, Q3- Электростатический потенциал всех остальных
частиц в этой точке cp(qi, <72, <2з) удовлетворяет уравнению
Лапласа
д2ср д2ср д2ср
А,, = ^?+^ + ^Г0'
Следовательно, потенциальная энергия U = ecp(qi, ^2, qs) не может иметь
вторые производные одного знака в точке нахождения данного заряда. Это
рассуждение относится к любому заряду. Таким образом, потенциальная
энергия не имеет минимума, и равновесие системы точечных зарядов
