Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 55

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 225 >> Следующая

оо.
2.24. Если положительно заряженное полукольцо занимает об-
R2 + z2
ласть х > 0 в плоскости ху, то при х, у <С ------ - получаем, разлагая
Н
подынтегральную функцию в интеграле f ^dl в ряд:
4 qRx
? =
з
7r(R2+Z2) 2
откуда
4 qR 12 qRxz
g 7 Е'У - E'Z - ^
7г(Д2+22)2 7г(Л2+22)2
При z R получается поле электрического диполя, момент которого на-
правлен по оси х и равен ^qR.
178
Глава 2
Внутри сферы - однородное электрическое поле с напряженностью E\z = -
47гсго/3. Вне сферы - поле диполя с моментом 47гсгоД3/3.
2.26. Вследствие аксиальной симметрии поля уравнение Лапласа, записанное
в цилиндрических координатах (полярная ось направлена вдоль оси симметрии
системы), принимает вид
(1) ^V + i^ + ^ = o.
Qr2 r Qr Qz2
Будем искать решение уравнения (1) в форме степенного ряда по г:
оо
(2) y>(r, z) = ^2 an(z)rn, a0(z) = <р(0, z) = Ф(г),
п=О
где Ф(г) - потенциал на оси симметрии системы.
Подставив (2) в (1), перегруппировав члены и приравняв нулю коэффициенты
получившегося ряда, найдем рекуррентные соотношения для определения
коэффициентов an(z), откуда:
°° (_1 \п / \ 2г? 9
*>("•>*) = ?7т^гф(2и)К|) =ф(^)-хф,,^+ •••'
71 = 0 '
^ = -^ = §Ф"(2)+ •••' ?"=0' Ег = -^ = -Ф'(г)+...
2.27. Нужно вычислить мультипольные моменты
Qlm = |. о) Л*",
= Т%(§. ")"*".
где ^ = q/2irR. Используя формулы (1.184), (1.189), (1.192), найдем:
а (2п - 1)!! / 7?\ 2п
^0, #) = /2 ч,, (у) ^2n(cOS^) При Г > Д,
п=0 ' '
4>{г, д) = ^ (д) P2n(cosT?) при Г < R.
п=0 ' '
Обе формулы справедливы также при г = R
2.4. Ответы и решения
179
, -,о л 2Зг2 - г2 0 2p2(cosi?)
2.28. а) (р к, qa--- = -----------;
-ч Зоа2 sin2 1? cos a sin а
б) Ч> ~ 5-----------•
."о ч 6да3Рз(соз$) 3 15 cos3 $ - 9cos$
2.29. a) tp к,-----------= qa --------------------;
r r
~ 15qabcxyz 15qabcsm2 $ cos $ sin a cos а
б) ip " --=- =---------------------------------.
2.30. p(r, §,a) = qY, "o)>im(^, а) при r < r0;
l,m ' rQ
p{r, tf,a) = qJ2 ^rrTTfT^m^0' ao)V/m(tf, а) при r > r0.
В случае эллипсоида вращения, a = b и
Юг
, ,4 9 , с2 - a2 P2(cost?)
?>(г, 1?) = - + q-
В случае шара, a = b = с и
2.32. В сферических координатах с полярной осью вдоль оси симметрии
системы и полюсом в центре колец
( са q(a2-b2) Р2( cost?)
^(г, 7?) =-------2--------------- •
Это - потенциал линейного квадруполя, у которого заряды - q нахо-
л/ 0,2 -
дятся на расстоянии------------от центрального заряда 2q.
2.33*. Вычислим мультипольные моменты:
q = - Jijp' ¦ V)S(r) dV = - j)(p' ¦ n)S(r) dS = 0.
180
Глава 2
так как 6(г) = 0 всюду, кроме г = 0;
Ра = - j ха(р' • V)J(r) dV = - J хар'п(r) dV = J p'n^(r) dV.
Последнее преобразование состояло в интегрировании по частям. По
повторяющемуся индексу п подразумевается суммирование. Возникший при этом
поверхностный интеграл обращается в нуль, так как 5(г) = 0 при г 0. По
определению функции
__ / дха ___ / ~ _ /
Ра - Pn~Q^r - Рп^ап - Ра'
Все мультипольные моменты более высокого порядка пропорциональны
компонентам г при г = 0 и поэтому обращаются в нуль. Рассмотрим,
например, компоненты квадрупольного момента. Действительно,
Qa0 = -Jxaxep'J^^ dV =JS(r)p'ndV = p'aX0 + p'pxc
= 0.
r=0
2.34. После n-кратного интегрирования по частям, получим
<р{г) = <?(-1)" f Sir1) П(а* • V0rrr^ dV' = qПК • V)i.
i ' ' i
qc? (3zf^_r^)
2.35. Проще всего, воспользовавшись формулой ср = --------------------
г
(см. ответ к задаче 2.28), выразить в ней zr через ж, у, z (рис. 2.15).
Получим
qa2
ср = -^-[3(cos$cos7 + sin^sin7cos(a - /3))2 - 1]. г6
Тот же результат можно получить, воспользовавшись тем, что совокупность
компонент квадрупольного момента представляет собой тензор II ранга. В
системе осей я/, ?/, z' компоненты квадрупольного момента
Q'xx = Q'w = Q'xy = Q'xz = Q'yz = 0, Qzz = 2qa2.
Матрица коэффициентов преобразования имеет вид
/cos 7 cos (3 - sin (3 sin 7 cos /3\ a= cos 7 sin [3 cos/3 sin 7 sin [3
.
\ - sin 7 0 cos 7 J
2.4. Ответы и решения
181
С помощью этой матрицы вычисляем компоненты формулам
Qa(3 = ^
7, 6
а затем используем формулу (2.21).
в системе xyz по
Рис. 2.15
2.36. ер = ^qa^c sin2 # cos# sin 2 (а - /3).
2 г
2
2.37. ср = -^-r-(3sin2 $ sin 2а - 3cos2$ - 1).
4г 7
2.38. По принципу суперпозиции можно написать
-Р-(г-г') [ 1
<^(г) =
г - г
'13
dV' = J Р grad' ¦
\г - Г
dVf.
Преобразуя это выражение с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, получим
ср(г) = f -
- dS, где S - внутренняя поверхность поляризо-
r I
ванного шара, а Рп = Р cos$. Используя результаты задачи 2.25, найдем:
4тг рг
Ч>\ =
¦ COS'#
47гРД3 q
<^2 = ------9-- COS $
3 г
182
Глава 2
f \ о 1 I о Ап COS TIOL Вп sill TLOL г / /\ i о/
2.39. (р{г)= - 2ft lnr+2 2^ -------------------,тдек = J р(г )аЬ -
п=1 пг
полный заряд единицы длины распределения, Ап = f p(r')r'n cos па' dS' и
Bn = f p(r')r,n sin па' dS' - двумерные мультипольные моменты п-то
порядка.
Из этих формул, в частности, следует, что потенциал диполя в двумерном
случае имеет вид ср = ^ Г, где р = f p(r')r' dS - дипольный момент
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed