Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 54

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 225 >> Следующая

2.4. Ответы и решения 2.1.
cpi = -2тгpz2, Ei = 4irpzez (|z| < a/2),
(f2 = - irpa(2\z\ - a/2), E2 = 2irpazez/\z\ (|z| > a/2).
Ось Oz направлена по нормали к поверхности плиты. При переходе к
заряженной плоскости a -> 0, но произведение ра = а остается
фиксированным. Внутренняя область исчезает, на плоскости z = 0
выполняется граничное условие (2.18).
2.2. (р(х, у, z) = ---y---cosaxcosftycosjz.
47гр0 а2 + /32+ 7:
2.3.
47ГР0 ^1 = ^^
7ch Az
COS7Z ¦1
A(ch(7rA/27) + sh(7rA/27))
cos ax cos (3y, |z| < zq;
4тг/9о7 ехр[А(тг/27 - |z|)]
*'2= *=A l+tanh<*A/27) N>*>-
Здесь к2 = a2 + (32 + 72, A = ^a2 + /З2. При предельном переходе к
заряженной плоскости имеем во всем пространстве ^ = (2ттсг(х, у)/Х)х х
ехр(-А|z|), где сг(ж, ?/) = <то cos аж cos /Зу, сто = lim (4zoPo/tO-
Экспо-
zo^O
ненциальное убывание заряда вдоль оси Oz объясняется тем, что плоскость
содержит разноименно заряженные участки.
2.4. Самый простой метод решения задачи - с помощью электростатической
теоремы Гаусса. При решении методом интегрирования уравнения Пуассона
нужно записать оператор Лапласа в цилиндрических координатах и
воспользоваться тем, что вследствие симметрии системы потенциал зависит
только от г.
При объемном распределении заряда
451=к 0 ¦ й' El = zw (^Я);
?>2 =-2/cln-^, Е2 = ^ (г >R).
При поверхностном распределении заряда cpi = 0, ip2 = -2ft In(r/R).
2.4. Ответы и решения
173
2.5. ср = -2ft In(r/R), Е = 2ft/r, R - произвольная постоянная.
2.6. y>(r,z) = 2^о^о(7г) COS7Z, где K^r) - модифицированная функция
Бесселя (1.163). Произвольная постоянная выбрана так, что (^|г^оо -> 0.
При 7Г <С 1, <?>(r, z) ~ -2K(z)\njr, т. е. найденный потенциал переходит
в потенциал заряженной нити с локальным значением линейной плотности
заряда (см. задачу 2.5).
(нужно учесть, что zi - z2 = 2а).
Равенство (1) показывает, что эквипотенциальные поверхности представляют
собой эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами отрезка.
2.7. <р{х, у, z) = In
q л z - а + J(z - a2) + x2 + y2 - m -------------- -
z + a + \/(z -\- a)2 + x2 + y2
2.8. Введем обозначения
z\ = z + a
c = Zi +r 1 ^2 + ^2 '
Из результата предыдущей задачи следует, что
I о С + 1
^1 + г 2 = 2а--- = const О - 1
(1)
2.9.
Mr) =
(г R).
2.10.
<МГ) = Mr) =
^1=0
(г < R);
(г > Д).
2.11. Электрическое поле в полости однородно:
174
Глава 2
2.12. q = 47ra(i?2 - Ri);
Ei=0,
ip i =
q(r-Ih)
^2 = ~^ \ о 5 ^2 =
q 1 Й2
Д2-Д1 ni?i
q
?3 =
(Дг-ДОг2'
q
Л2-Л. v1_ln4":^1 nP"R'"r^
Q
При i?2 -" Л1 = Л и фиксированном значении заряда <7, получаем поле
сферы, равномерно заряженной по поверхности.
2.13.
г оо
^(г) = "У" / р0>'2 б/г'+4тг / p(r')r' dr';
О г
г
В(г) = J p(r')r'2 dr'.
2.15. Поле электронного облака в атоме:
Ерг -
ео
а а
2 г
Потенциал полного электрического поля в атоме
(2.166)
(2.167)
2.16. Напряженность поля максимальна на поверхности ядра: -Emax = = 6,4
• В/СМ.
= ~ з х ю-1°A2/3Z2.
-Ё'тах V ^
2.4. Ответы и решения
175
2-18- 4> = -&W& + *-\z\y,
К
Ех - Еу - О,
R2VISI v/i'1' +
где z - координата точки, наблюдения, отсчитываемая от плоскости диска.
Рис. 2.14
2.19. Вследствие симметрии системы потенциал (р не будет зависеть от
азимутального угла а, поэтому можно без нарушения общности провести
плоскость xz через точку наблюдения. Тогда (рис. 2.14)
г 12 = л/ г2 + R2 - 2rR sin д cos о!

(р(г, = 2xR J
da'
л/r2 + R2 - 2rR sin $ cos a' '
где ж =
2тгЯ'
176
Глава 2
Произведя подстановку а' = 7г - 2/3 и введя обозначение
^2 _ 4гД sin #
г2 + R2 + 2r Д sin $ '
получим

р(г, I?) = 4жД / d(3 = 2кх к (к).
Vr2 + R2 + 2гД sin 1? У л/l - fc2 sin2 /3 \/ rR sin $
2.20. а) ю = g где z - расстояние от плоскости кольца до
л/WT^1
точки наблюдения.
б) Обозначив через г' расстояние от точки наблюдения до нити кольца,
получим при г' <С R:
1 - к2 " if(fc)=ln^P и <?(г) = -2ж In / + const,
т2 К J г'
как и должно быть в случае линейного заряда.
2.21.
р cos д 2 р cos д р sin д
= -----9--, Edr = -------- --, bdD = -------о-, Eda = 0;
<3^0 2 Q ^ gft(coetf)
^ = ^з(3со8 =------------>
iQP2{cosd) 3Q cosг9 sin
~ 2й ' ~~ 2Й ' а ~
Здесь P2(cost9) - полином Лежандра.
2.22.
ОО I
( \ I 47Г QlmYlmi^•) °i)
vW = i: E Van--¦
Z=0 m= - l V 1
где Qim - мультипольный момент порядка Z, га:
Qim = J p{r')r,lY^n{'d', a') dV'.
2.4. Ответы и решения
177
Здесь интегрирование производится по всему объему, занимаемому системой
зарядов.
2.23. Разбиваем область интегрирования по г' в (2.9) сферической
поверхностью с радиусом г на внутреннюю и внешнюю области. Во внутренней
области используем разложение (1.182) с заменой а на г' и получаем такую
же сумму, как в предыдущей задаче, за исключением того, что муль-
типольные моменты Qim(r) становятся функциями г. Во внешней области в
разложении (1.182) нужно сделать замены а -> г, г -> г'. В итоге получим
J ЩГ[ ^ + rlQ'im(r))Yim($, а),
1=0 m= - l V \ ' /
где
QLW = j 'т(в', a',dV.
Интегрирование по г' в последнем интеграле проводится в пределах от г до
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed