Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
ленные значения. Таким образом, сумма в (2.144) должна быть
распространена на все возможные значения щ, п2, пз, которые составляют
бесконечное, но счетное множество. Базисные функции А\^а(г) образуют
полную ортогональную систему функций, удовлетворяющих условию нормировки
[ Ai"(r)-Aba(r)dV = (A0)2VSkk,5aa,. (2.146)
Jv
Последнее равенство легко проверяется с помощью явного вида (2.144)
базисных функций.
Из ортогональности функций (2.146) и волнового уравнения (2.142) получаем
систему уравнений для амплитуд Фурье:
<?ко- + ^к<2к<т = где ик = ск^ 0. (2.147)
Они удовлетворяют уравнениям независимых гармонических осцилляторов и
представляют собой главные (но комплексные) координаты электромагнитного
поля. Общее решение уравнения (2.147) имеет вид
qua(t) = bk(Je~lWkt + ckaelu>kt, (2.148)
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
169
где 6, с - комплексные постоянные. Из вещественности А (г, t), т. е. из
равенства А*(г, t) = A(r, t) путем приравнивания коэффициентов при
экспонентах с одинаковыми показателями вытекают следующие соотношения
между коэффициентами:
Gkcr^kcr = е-ксгС-ксг-
Если выбрать орты поляризации так, чтобы удовлетворялись условия
ek. = e*_ka, (2.149)
то получим бксг = с-ксг' Сксг = ^-ксг и для комплексной амплитуды Фурье
qk*(t) = bkae~iu)^ + b*_kaeiuJ^. (2.150)
Эти соотношения позволяют записать (2.144) в виде
A(r, t) = ^2 [bb<r(t)Ak<r(r) + КА*)АъАг)], где bka(t) = bkae~lUkt
ксг
(2.151)
удовлетворяет уравнению движения осциллятора (2.147). Отметим, что
разложение по плоским волнам здесь отличается по форме от аналогичного
разложения в задаче 2.122 и обладает некоторыми методическими
преимуществами.
Пример 2.22. Построить функцию Гамильтона свободного электромагнитного
поля в главных координатах и записать уравнения поля в гамильтоновой
форме.
Решение. Вычислим энергию поля
w = -^ J (E2 + H2)dV (2.152)
в основной области V. Для этого вычислим напряженности поля с помощью
(2.144):
Е=-\а = k<r> (2.153)
ксг ксг
Н = rot А = i^qk(T[k х Aka} = ~i^qka[k х Ака], (2.154)
ксг ксг
170
Глава 2
Пользуясь условием ортогональности (2.146), получим из (2.152)
(A°)2V
W = 2 a(t) + c2k2q^(t)qkrT(t)), (2.155)
8?гс ъ
или, подставляя сюда на основе (2.150) q\^a(t) = b\^a(t) + b*_^a(t),
будем иметь
(A°)2V
W = i-Lr'?'U,lbZur(t)bk<r(t). (2.156)
27ГС " ксг
Полная энергия поля в объеме V выразилась в виде суммы энергий отдельных
собственных колебаний, выраженных через комплексные главные координаты.
Введем действительные переменные Qkcr, Рко-:
bka = l(Qka + l-^y (2-157)
Из их определения (2.157) следует, что эти переменные тоже удовлетворяют
уравнению движения гармонического осциллятора (2.147). Энергия системы,
выраженная через обобщенные координаты и импульсы, называется функцией
Гамильтона системы. Обозначив функцию Гамильтона через Ж и подставляя в
(2.156) комплексные координаты, выраженные через действительные
переменные (2.157), находим
w = Е (pk" + ulQL) • (2.158)
ксг
На этом этапе удобно выбрать постоянную нормировки А0 так, чтобы
эффективные массы осцилляторов поля стали единичными:
А° = у^р-- (2.159)
В итоге гамильтонова функция поля принимает канонический вид
= где = \(Pl"+L02kQla). (2.160)
ксг
Канонические уравнения, или уравнения Гамильтона, получаются из функции
Гамильтона (2.160) обычным путем:
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
171
и приводят к правильному уравнению движения
Qkcr + ^kQkcr = 0. (2.162)
Это доказывает, что Q, Р являются каноническими переменными для
осцилляторов поля. ¦
С учетом выбранной нормировки координатные базисные функции принимают вид
Aka(r) = eka]j^eik-r. (2.163)
Задачи
2.151*. Если размер L основной области поля велик по сравнению с длинами
волн рассматриваемых колебаний, то волновой вектор и частота меняются
квазинепрерывным образом и на малый (Аси <С си) интервал частот
приходится много осцилляторов поля. Показать, что число собственных
колебаний поля, приходящихся на малый интервал частот dco или волновых
векторов dk, с учетом двух независимых поляризаций при каждом значении к
записывается в виде
dN = -Щ-k2dkdflk = 2V , a)2 dcudflk, (2.164)
(27г) (27Г с)6
где бЮк - телесный угол, внутри которого ориентирован волновой вектор.
2.152*. Два единичных вектора поляризации, в общем случае комплексных,
удовлетворяют условиям ортогональности e^s )* • = 5SS>
и поперечности п • е^ = 0, где s, s' = 1, 2, п - единичный вектор в
направлении распространения волны. Доказать соотношения
еа^е^* = (о, • е^)(Ь • е^*) = [а х п] • [Ь х п], (2.165)
где производится суммирование по повторяющемуся индексу s.
Рекомендуемая литература: [Медведев (1977)], [Бредов и др. (1985)],
[Зоммерфельд (1958)], [Пановский и Филипс (1963)], [Френкель (1956)],
[Новожилов и Яппа (1978)], [Батыгин и Топтыгин (1970)], [Тамм (1976)],
[Гинзбург (1975)], [Джексон (1965)], [Сивухин (1980)], [Алексеев (1977)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля].
172
Глава 2
