Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
частотам:
при \х\ < а, при \х\ > а,
оо
оо
-1
оо
оо
-1
- оо
- оо
и Т.д.
оо
оо
U'(t) = ^ / и(со)е lLOt dco = ^ / а(со) cos[cp(co) - cot\ dco, (2.137)
- оо 0
166
Глава 2
где и(со) = а(со) exp[icp(u)\, причем в силу условия и(-со) = и*(и), а
(со) и ср(и) - действительные четные функции частоты. Обобщим последний
интеграл в (2.138) и будем рассматривать комплексную функцию
оо
U(t) = ^ J а(со) exp[z((^(cj) - cot)} dco = U'(t) + iU"(t). (2.138)
о
Мнимая часть
oo
U"(t) = ^ J a(co) sm[i(cp(co) - icot)]dco (2.139)
о
однозначно определяется действительной частью U'(t), так как она
получается из последней путем замены фазы (р(со) каждой фурье-гармоники
на (р(со) - 7г/2.
Величина U(t) называется аналитическим сигналом. Она часто используется в
теории волновых полей, теории колебаний, радиотехнике и т.д. Характерной
особенностью функции U(t) является то, что она содержит гармоники Фурье
только с положительными частотами. Поэтому, если U(t) ограничена при всех
действительных t (т. е. интеграл по со в (2.139) сходится), то она
останется ограниченной и при комплексных значениях t = t' + it", лежащих
в нижней полуплоскости (t" < 0). Это объясняется тем, что при замене в
(2.139) t на tf + it" под интегралом возникает дополнительный множитель
exp (cut"), который при t" < 0 только усилит сходимость интеграла по со.
Следовательно, функция U(t), рассматриваемая при комплексных t,
аналитична (не имеет особых точек) в нижней полуплоскости.
Задачи
2.146*. Пользуясь аналитичностью функции U(t) в нижней полуплоскости
комплексного t, найти интегральную связь15 между ее действительной и
мнимой частями:
оо оо
U'(t) = -±P j U'\t) = ±9 j Yz\dt'-
(2.140)
15Формулы (2.141) называются в математике преобразованиями Гильберта. Они
играют важную роль в физике и называются в физической литературе
дисперсионными соотношениями (см. вторую часть этой книги).
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
167
Здесь символ 5^ обозначает главное значение интеграла (без этого указания
вычислить интегралы невозможно ввиду наличия полюсов в точке t' = t).
2.147. Выразить энергию Г плоской немонохроматической волны,
прошедшей через единичную площадку за ограниченное время существования
волны, через аналитический сигнал, отождествив E(t) с Uf(t). Записать
2.148. Квазимонохроматический сигнал U'(t) = A{t) cos[<I>(?) - coot]
представляет собой косинусоиду с медленно меняющимися амплитудой A(t) и
добавочной фазой Ф(?). Выразить А и Ф через аналитический сигнал U(t),
действительной частью которого служит U'(t).
2.149. Затухающий источник излучения создает сигнал U'(t) = =
Д)0(?)е-7*/2 sincjo^, где Q(t) - ступенчатая функция, 7 - постоянная
затухания, Ао = const. При каких условиях сигнал будет квазимонохрома-
тическим? Найти распределение энергии по частотам, пользуясь понятием
аналитического сигнала. Оценить полосу частот этого сигнала и
произведение Аси At.
2.150. Показать, что электромагнитное поле в свободном пространстве
можно описать одним лишь векторным потенциалом A(r, t), положив (р = 0.
Гамильтонова форма уравнений свободного электромагнитного поля. Свободное
электромагнитное поле представляет собой линейную колебательную систему с
бесконечным числом степеней свободы. Колебания происходят в каждой точке
пространства, причем колебания в соседних точках взаимно связаны через
посредство волнового уравнения, в которое входят производные по
координатам. Линейную колебательную систему в механике можно описывать
при помощи нормальных (или главных) координат, в которых она становится
эквивалентной набору независимых гармонических осцилляторов. Такое
представление, возможное и для электромагнитного поля, весьма удобно при
решении некоторых задач классической электродинамики (см. [Гинзбург
(1987)]) и совершенно необходимо при рассмотрении поля как квантовой
системы.
Положим (р = 0 (см. задачу 2.150) и будем описывать поле векторным
потенциалом А(г), удовлетворяющим уравнениям
div А = 0.
(2.142)
168
Глава 2
Наложим на Л в качестве граничных условий условия периодичности:
А(х, у, ж, t) = А(х + L, у, z, ?) = А(ж, у + L, z, ?) = А(ж, у, z + L,
t).
(2.143)
Все пространство оказалось разделено на области размером 1/ = L3, в
которых поле ведет себя подобным образом. Из физических соображений
понятно, что физические процессы внутри объема мало зависят от условий на
его границах, если объем велик.
Разложим векторный потенциал на плоские волны с определенными волновым
вектором к и поляризацией сг = 1,2:
A(r,t) = ^2qkl7(t)Ak(r(r), где Ak(T(r) = ек<7А°егк ' г, (2.144)
ксг
где - нормировочный множитель, который будет выбран в дальнейшем, вксг -
единичные векторы поляризации плоских волн, удовлетворяющие условиям
поперечности к • = 0 и условиям взаимной орто-
гональности ej^, • вксг = 5аа*. Из условий периодичности (2.143) получаем
exp(ikxL) = exp(ikyL) = exp(ikzL) = 1, т. e.
kx = kv = ^n2, kz = ^n3, (2.145)
где Tii, ^2, = 0, ±1, ±2,... независимы и принимают только целочис-
