Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
энергетических величин, квадратичных по монохроматическим компонентам
полей вида А = Ао(г)е~гСиь, В = Во(г)е~гСиг можно вычислять, пользуясь
формулами
А2 = [Re(A)]2 = |\А\2, АВ = Re(A) Re(??) = | Re(AB*). (2.123)
13 "Одноцветную" волну, колеблющуюся с одной единственной частотой.
14В общем случае такой связи между частотами и волновыми векторами
гармоник Фурье (2.114) не существует.
160
Глава 2
г) Показать, что усредненные по периоду плотность энергии в плоской
монохроматической волне и вектор Пойнтинга связаны соотношением 7 =
= cum, w = \Eq\2/8тг.
2.130*. В общем случае из комплексной амплитуды Ео = Е01 -\-iE02, где
Eqi, Е02 - действительные векторы, можно выделить два взаимно
перпендикулярных действительных вектора Si, 82, таких, что
Е0 = (в! + iS2)eia, S±S2 = о, (2.124)
а а (-7г < а ^ 7г) - некоторая начальная фаза.
а) Выразить начальную фазу через первоначально заданные векторы Eqi,
Eq2'
б) Показать, что наблюдаемое поле (действительная часть комплексного
вектора Е) записывается в виде
Е = S 1 cos (к • г - cut + а) - S 2 sin (к • г - cot + а). (2.125)
в) Показать, что конец вектора Е описывает в данной точке пространства
либо эллипс (эллиптическая поляризация), либо окружность (круговая, или
циркулярная, поляризация), либо колеблется вдоль некоторой прямой
(линейная поляризация). В случае эллиптической или круговой поляризаций
возможны два противоположных направления вращения, а при линейной
поляризации - колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Поэтому при заданном направлении распространения волны имеется два
различных независимых типа поляризации.
г) Как определить направление вращения вектора Е относительно
направления распространения волны?
2.131. Две плоские монохроматические линейно поляризованные волны
одной частицы распространяются вдоль оси Oz. Первая волна поляризована
вдоль Ох и имеет амплитуду а, вторая поляризована вдоль Оу, имеет
амплитуду b и опережает первую по фазе на х- Исследовать поляризацию
результирующей волны в зависимости от а/Ъ.
2.132. Исследовать в предыдущей задаче зависимость поляризации от
сдвига фаз х Для случая а = Ъ.
2.133. Циркулярно поляризованные волны распространяются вдоль
оси Oz. Записать комплексные орты а = 1,2, соответствующие волнам с
правой и левой спиральностями и нормированные условием • е^а )* =
- Заа' •
2.134. Две циркулярно поляризованные волны Е\$ = Eqg^1^ exp[i(k • г -
cut dz а)] имеют разные Начальные фазы. Орты поляризации е^1,2)
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
161
определены в предыдущей задаче. Найти амплитуду результирующей волны и
определить ее поляризацию.
Частичная поляризация волн. Если волны, распространяющиеся в заданном
направлении п, генерируются многими независимыми источниками, то их
начальные фазы как правило случайны, и даже при высокой степени
монохроматичности (малый разброс частот Acj) результирующее поле E(t)
будет случайной функцией времени. Такое поле будет лишь частично
поляризованным. Его принято характеризовать тензором поляризации
__________
где значения компонент поля берутся в одной точке, а усреднение
производится по времени наблюдения достаточной длительности. При
стационарных источниках усредненные таким образом произведения компонент
поля не будут зависеть от времени. Будем называть сумму диагональных
компонент поляризационного тензора
интенсивностью поля, поскольку эта величина характеризует плотность его
энергии. Заметим, что по определению (2.127) Jap = J^a, т. е.
поляризационный тензор эрмитов (см. раздел 1.1).
Пример 2.20. Пользуясь соображениями симметрии, записать тензор
поляризации полностью неполяризованных волн. Записать также все возможные
тензоры поляризации для полностью поляризованных монохроматических волн.
Решение. В отсутствие поляризации все направления электрического и
магнитного векторов в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения, равновероятны. Этому случаю соответствует изотропный
тензор
Полностью поляризованной монохроматической волне с амплитудой (2.125) в
осях, направленных вдоль действительных векторов 82, отвечает тензор
Ja0 = Ea(t)E*0(t), а, (3 = 1, 2,
(2.126)
(2.127)
(2.128)
(2.129)
Такой тензор при произвольных <?i, 82 и двух знаках недиагональных
компонент описывает волны с эллиптической поляризацией и двумя возмож-
162
Глава 2
ными направлениями вращения. Циркулярно поляризованным волнам отвечают
тензоры
;)¦ ^=57(! ?)' <2130'
описывающие волны разной спирально сти. Наконец, двум направлениям
линейной поляризации соответствуют тензоры
=1/ (; j), j",,=|/ (§;). (2.13D
Обратим внимание на характерную особенность этих тензоров: их
определители | Jap\ = Jn J22 - \Ji2\2 обращаются в нуль для
поляризованных волн. При частичной же поляризации | Jap\ > 0 и достигает
наибольшего значения I2 /4 для полностью неполяризованных волн. ¦
Пример 2.21. Представить тензор Ja/3 частично поляризованных волн в виде
суммы двух тензоров,
