Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
ходе проработки теоретического материала к соответствующему разделу
В разработке общего замысла книги и ее плана участвовали оба автора. Но
после безвременной кончины В. В. Батыгина в 1998 г. большую часть
конкретной работы по написанию первой части книги выполнил оставшийся
автор. Значительную помощь в работе над книгой оказали наши коллеги -
сотрудники кафедры теоретической физики физико-механического факультета
СПбГТУ. А. И. Цыган предложил задачи 5.134-5.137. Д. В. Куприянов и И. М.
Соколов написали значительную часть теоретического материала и составили
многие задачи главы 6. Сотрудники кафедры космических исследований А. В.
Блинов, А. Н. Константинов, В. Ю. Бахарев, а также В. В. Масленникова
оказали большую помощь в оформлении материалов книги. Авторы признательны
А. Г. Чиркову за обсуждение многих вопросов, затронутых в книге.
При написании и подготовке книги к печати авторы не пользовались
поддержкой каких-либо научных и благотворительных фондов, за исключением
моральной поддержки издательства "Регулярная и хаотическая динамика" и
наших коллег по кафедре. Наоборот, с учетом того нищенского состояния, в
которое низвергнута российская высшая школа и ее преподаватели уже свыше
10 лет, написание этой книги следует рассматривать как акт
благотворительности авторов, направленный на поддержку будущего России,
ее науки и высшего образования. Впрочем, благоприятное буду-
10
Предисловие
щее науки и образования наступит лишь в том случае, если нынешний по
преимуществу криминальный и паразитический российский капитализм -
результат десятилетнего господства в стране российских "талибов" -
удастся преодолеть и вернуть интеллектуальным ценностям то почетное
место, которое они занимали в дореволюционной России и в Советском Союзе.
И. Н. Топтыгин
Глава 1
Математические методы электродинамики
1.1. Векторная и тензорная алгебра
Определение тензора и действия над тензорами. Выберем в трехмерном
пространстве прямоугольную и прямолинейную (декартову) систему координат
х\, Х2, ^з- Пространство будем считать евклидовым. Это означает, что в
нем выполняются аксиомы геометрии Евклида, известные из школьного курса
математики, и их следствия. В частности, квадрат расстояния dl2 между
двумя близкими точками задается выражением
dl2 = dx\ + dx 2 + dx\.
Рассмотрим наряду с исходной другие такие же системы координат, имеющие
общее начало, но повернутые относительно исходной (рис. 1.1).
Скаляром (инвариантом) называется величина, которая не изменяет своего
значения при поворотах координатной системы, т. е. имеет одно и то же
значение в исходной и повернутой системах координат.
S' = S = inv. (1.1)
Таким свойством, в частности, обладает dl2 = dlr2 = inv.
Вектором в трехмерном пространстве называется совокупность трех величин
Va (а = 1, 2, 3), которые определены во всех системах координат и
преобразуются при поворотах по правилу
(1.2)
12
Глава 1
(сумма по повторяющемуся значку о от 1 до 3!). Здесь Vp - проекции
вектора на оси исходной, a Vp - на оси повернутой системы координат; &а(3
- коэффициенты преобразования, представляющие собой косинусы углов между
[3-й осью исходной и а-й осью повернутой системы. Их можно записать через
единичные векторы (орты) координатных осей:
(lap = е'а • е(3- (1-3)
Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется девятикомпонентная
величина Тар (каждый из индексов принимает независимо по три значения
1,2,3), определенная во всех системах координат и преобразующаяся при
поворотах координатной системы как произведения компонент двух вектора
AaVp, т. е. следующим образом:
¦^а/З - &(хц,(r)1 fivTfiv. (1*4)
Тензором 5-го ранга в пространстве трех измерений называется 3s-
компонентная величина Tapmmm>c преобразующаяся как произведение 5
компонент векторов:
-^"/3...к - • 0-5)
Скаляр и вектор можно рассматривать как тензоры нулевого и первого ран-
гов соответственно.
Матрица поворота а обладает следующими свойствами:
а) ортогональность;
&ац&Рц = $0.(3-) Qol/i&olv = $/iv> •> 0*6)
где
5ар = 1 при а = (3 и 5ар = 0 при а ^ (3 (1.7)
- символ Кронекера;
б) определитель матрицы поворота равен единице,
det а = \а\ = 1; (1.8)
в) произведение двух матриц поворота,
с - ад, Cqi/з - &ац9цр 0*9)
описывает такое вращение координатной системы, которое представляет собой
результат двух последовательных поворотов1 сначала с матрицей 'д,
Совокупность всех операций поворота образует группу (группу трехмерных
вращений), см. Гельфанд и др. (1958).
1.1. Векторная и тензорная алгебра
13
а затем с матрицей а. В общем случае матрицы поворота некоммутативны, т.
е.
адфда. (1.10)
Из свойства а) следует, что обратная матрица аГ1, определяемая соот-
ношениям
я-1 а = аа-1 = 1, или = аа)ма~^ = 6ар (1.11)
получается из исходной транспонированием, т. е. заменой строк на
столбцы
и наоборот:
CL - (2, О'а/З - ^см/3 - &(3а.' 0*12)
Преобразование, обратное (1.2), выглядит так:
У0 = аёЖ- (1ЛЗ)
Векторы, преобразующиеся по правилу (1.2) при поворотах, могут двояко
