Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 34

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 225 >> Следующая

Пример 2.3. С помощью тождества Грина (1.97) доказать от противного
теорему единственности: решение электростатической задачи внутри
заданного ограниченного объема V единственно, если в объеме V задано
распределение заряда р(г), а на его поверхности S - либо потенциал ip,
либо его нормальная производная дср/дп.
Решение. Предположим, что существуют два различных решения
электростатической задачи, (pi и ср2, удовлетворяющие уравнению Пуассона
(1) Д^1,2 = -47гр внутри объема V
7г/2
114
Глава 2
и граничным условиям на S
где / и F - заданные функции координат. Положим в (1.97) (р=ф=(р1-(р2:
Из (1) следует, что Аср = 0. Интеграл в правой части (3) также обращается
в нуль как следствие (2). В итоге получаем
что возможно только при условии V<? = 0, т. е. <р = const. В случае
условий Дирихле const = 0, т. е. ср\ = ср2. В случае условий Неймана
const ф 0, но два электростатических потенциала, отличающиеся на
постоянную, физи-
Пример 2.4. С помощью тождества Грина (1.98) выразить электростатический
потенциал ср(г) внутри объема V через известную плотность р(г) в этом
объеме, а также значения ср и дер/дп на поверхности S, ограничивающей
объем.
Решение. В тождестве (1.98) полагаем функцию ср равной искомому
потенциалу, а = 1/R - обратному расстоянию R = \г - г'\ от
рассматриваемой точки до элемента интегрирования dVf. Используем
уравнение Пуассона Аср(г) = -4тгр(г) и уравнение А'ф(г - г') = -4тг5(г -
г'), которому удовлетворяет функция ^ (см. формулу (1.225)). Получаем из
(1.225)
Пример 2.5. Система зарядов занимает ограниченную область пространства
размером I. Пользуясь представлением электростатического потенциала в
виде объемного интеграла (2.9), вычислить приближенное значение
потенциала на расстояниях г I от системы с точностью до членов порядка
(1/г)2. Какие величины, характеризующие систему зарядов, нужны для этого?
(3)
(4)
V
чески эквивалентны. Решение единственно.
<р(г) = J
/
v
S
2.1. Электростатика
115
Решение. Разлагая подынтегральное выражение в (2.9) в ряд по малому
отношению г'/г ^ 1/г, будем иметь
= 1(1-2гг 1 г'
\г - г' I г V г2 г2
Здесь последнее слагаемое записано в тензорной форме с суммированием по
повторяющимся индексам. Подставляя результат в интеграл (2.9), находим
q p-r Qa0XaX0
<p(r) = - + -5- +-------------, (2.21)
где использованы следующие обозначения:
q = J p(r') dV' (2.22)
- полный заряд системы;
р = J p(r')r' dV' (2.23)
- дипольныи момент системы зарядов;
Qa(3 = J р(г')(Зх'ах'р - г,2да(з) dV' (Qaa = 0)
(2.24)
- тензор квадрупольного момента системы зарядов. Разложение
потенциала (2.21) может быть продолжено. Оно называется разложением по
мультипольным моментам (мультиполям). ¦
Пример 2.6. Двойной электрический слой представляет собой две
поверхности, находящиеся на малом расстоянии s друг от друга, одна из
которых имеет положительный поверхностный заряд с плотностью а, а другая
- отрицательный заряд с плотностью -а, так что в целом слой
электронейтрален. Записать выражение для электростатического потенциала,
создаваемого двойным слоем. Показать, что значения потенциала по обе
стороны двойного слоя связаны соотношением
= ^ = (2-25)
где к = crs - дипольный момент на единицу поверхности.
116
Глава 2
Решение. Введем вектор плотности дипольного момента к = nsn, где орт
нормали п должен быть направлен от отрицательной поверхности к
положительной (см. рис. 2.5). Будем рассматривать двойной слой как одну
поверхность и используем выражение для потенциала диполя, приходящегося
на элемент dS поверхности, согласно (2.21): dcfM = к • rdS/r3, где г
соединяет элемент dS с точкой наблюдения М. Легко убедиться, что величина
п • rdS/r3 = представляет собой элемент телесного угла, под которым из
точки наблюдения М видна площадка dS (знак плюс - если
видна положительная, а минус - отрицательная сторона поверхности). На
основе принципа суперпозиции получаем
<РМ = I (±к) dfl. (2.26)
п
Если поверхность ориентирована так, что знак всех ее элементов один и тот
же, то (fM = Если точка наблюдения находится на одной из сторон
поверхности двойного слоя, то, очевидно, срм = ±27Ш. Это приводит к
скачку потенциала (2.25) при переходе через двойной слой. Непрерывность
Еп = -дср/дп следует из равенства нулю полной поверхностной плотности
заряда двойного слоя. ¦
2.21. Записать в сферических координатах выражения для потенциалов
электрического диполя с моментом р и электрического квадруполя для случая
аксиально-симметричного распределения зарядов. Вычислить также
напряженности поля Eq для этих систем.
2.22*. Произвести разложение электростатического потенциала вне
ограниченной системы зарядов по мультиполям и найти выражения для
мультипольных моментов в сферических координатах. Использовать
производящую функцию (1.182) для полиномов Лежандра и теорему сложения
(1.195) для сферических функций.
2.23*. Обобщить результат предыдущей задачи таким образом, чтобы
разложение электростатического потенциала по сферическим функциям
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed