Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
условие (2.18) можно заменить условием непрерывности потенциала на
поверхности1 S:
ipi = ^2- (2.20)
Задачи
2.1. Плоская плита больших поперечных размеров и толщиной а равномерно
заряжена по объему с плотностью р = const. Пренебрегая краевыми
эффектами, вычислить потенциал ср и напряженность Е электрического поля.
Рассмотреть предельный случай бесконечной плоскости, выразить потенциал и
напряженность поля через поверхностную плотность заряда, проверить
выполнимость граничных условий.
2.2. Заряд распределен в пространстве по периодическому закону р(х, у,
z) = ро cos ах cos /Зу cos 7z, образуя бесконечную пространственную
периодическую решетку. Вычислить потенциал ср электрического поля.
2.3*. Распределение заряда предыдущей задачи ограничено в направлении оси
Oz плоскостями z = ±zq, zo = 7t/2j и образует плоскую плиту толщиной 2zo.
Вычислить электростатический потенциал во всем пространстве. Произвести
предельный переход zo -> 0 при условии постоянства заряда, приходящегося
на единицу поверхности плиты (zopo = const) и ввести поверхностную
плотность заряда сг(х, у).
2.4. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно заряжен по
объему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд
к. Вычислить потенциал ср и напряженность электрического поля Е.
2.5. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля равномерно
заряженной прямолинейной бесконечной нити. Ее заряд к на единицу длины.
2.6*. В предыдущей задаче нить заряжена неравномерно: k(z) = = ftocos7z.
Вычислить электростатический потенциал. В какой области
^м., однако, случай двойного слоя (пример 2.6), когда условие (2.20) не
выполняется.
112
Глава 2
пространства потенциал будет приближенно совпадать с потенциалом
равномерно заряженной нити? Проанализировать предельные случаи.
2.7. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля равномерно
заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающего часть оси Oz от
-а до а; заряд отрезка q.
2.8. Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно заряженного
отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.
2.9. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля шара,
равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, полный заряд q.
2.10. Сделать то же самое для случая, когда заряд распределен равномерно
по поверхности шара.
2.11. Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объему с
плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой
Ri, а центр отстоит от центра шара на расстояние a (R > R\ + а). Найти
электрическое поле Е в полости.
2.12. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы которых
Ri и R2 (Ri < R2), заряжено с объемной плотностью р = а/г2. Найти полный
заряд q, потенциал (р и напряженность Е электрического поля. Рассмотреть
предельный случай R2 -> Ri, считая при этом q = const.
2.13. Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р(г).
Записать <^иЕв виде однократных интегралов по г, разбив распределение
зарядов на сферические слои.
2.14. На основе результата предыдущей задачи получить решения задач 2.9 и
2.12.
2.15. В атоме водорода, находящемся в невозбужденном состоянии, заряд
электрона распределен с плотностью
где а = 0,529 х 1СГ8 см - боровский радиус атома, ео - элементарный
заряд. Найти потенциал сре и напряженность электрического поля Еег
электронного заряда, а также полные потенциал ср и напряженность поля Е в
атоме, считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат.
Построить на компьютере графики величин ср, Е.
УКАЗАНИЕ. Полезно произвести интегрирование по сферическим слоям.
2.1. Электростатика
113
2.16. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти
максимальное значение напряженности его электрического поля Етах. Радиус
ядра R = 1,5 х КГ13,!1/3 см, заряд Zeо (А - атомный номер, Z - зарядовое
число, ео - элементарный заряд). Сравнить Етах со значением поля ядра Ев
на расстоянии боровского радиуса (последний для атома с зарядовым числом
Z равен а/Z).
2.17. В задаче 2.10 записать выражение для объемной плотности заряда
через дельта-функцию и вычислить потенциал и электрическое поле путем
интегрирования по сферическим слоям.
2.18. Найти потенциал ср и напряженность Е электрического поля на оси
равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q.
Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Е
испытывает скачок Аттсг. Рассмотреть поле на больших расстояниях от
диска.
2.19. Выразить потенциал ср равномерно заряженного круглого тонкого
кольца с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интеграл
первого рода
УКАЗАНИЕ. При интегрировании по азимуту сделать замену а' = tv - 2(3.
2.20. Получить из общей формулы предыдущей задачи потенциал ср
электрического поля: а) на оси кольца; б) на больших расстояниях от
кольца;
в) вблизи нити кольца (асимптотические значения эллиптического
интеграла взять из справочников).
