Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
точках г, в которых отсутствуют точечные заряды, и точка г' = г не
является для него особой.
Выражение (2.7) можно упростить, воспользовавшись тождеством
г - г
г - г
/13
= -V-
7* - Г
(г Ф г'),
где V - оператор Гамильтона набла. Вынося его за знак интеграла,
поскольку дифференцирование и интегрирование производятся по разным
переменным, гиг', будем иметь
(2.8)
108
Глава 2
где скалярная функция точки
<р(г) = j
(2.9)
называется электростатическим потенциалом. Эта величина определяется с
точностью до постоянной. Таким образом, в электростатике напряженность
поля Е - потенциальный (безвихревой) вектор (см. раздел 1.2):
Значение div.E и одновременно уравнение, которому удовлетворяет
электростатический потенциал ср(г), можно получить, применив операцию div
к обеим частям равенства (2.8):
Внесем оператор Лапласа А под знак интеграла (2.9) и воспользуемся
тождеством (1.225)
Последнее уравнение называется уравнением Пуассона. Оно позволяет
находить электростатический потенциал методом интегрирования
дифференциального уравнения в частных производных, отличным от прямого
вычисления интеграла (2.9). Уравнения (2.10) и (2.12) являются
дифференциальными уравнениями для определения вектора Е в электростатике.
Их интегральная форма получается применением к (2.10) и (2.12)
соответственно теорем Стокса и Остроградского-Гаусса:
rot Е = 0.
(2.10)
div Е = -\/2(р = - А (р.
(2.11)
Это дает
div Е(г) = 47г р(г)
(2.12)
и
А ср(г) = -47г р(г).
(2.13)
2.1. Электростатика
109
Уравнения (2.10), (2.12)-(2.15) являются следствиями закона Кулона. Но
они более общи, чем конкретные выражения (2.7), (2.9) для напряженности
поля и электростатического потенциала.
Из соотношения (2.14) следует, что работа электростатического поля над
зарядом е вдоль любого замкнутого контура равна нулю: R = §Е • dl= 0.
I
Соответственно, работа по перемещению заряда из точки А в точку В не
зависит от пути:
в
Rab = J еЕ • dl = -е J V<? • dl = е((рл - Рв)- (2.16)
I А
Из (2.15) следует, что поток вектора напряженности электрического поля
через любую замкнутую поверхность равен умноженному на 4тг электрическому
заряду, находящемуся внутри поверхности (электростатическая теорема
Гаусса).
Граничные условия. Рассмотрим поверхности, на которых величина р имеет
особенности (т. е. испытывает скачок или обращается в бесконечность).
Такие поверхности могут быть созданы материальными средами
(диэлектриками, проводниками и др.). На особых поверхностях
дифференциальные уравнения (2.10), (2.12) неприменимы, и их надо заменить
некоторыми условиями "сшивания" компонент напряженности поля, которые
выводятся из интегральной формы указанных уравнений.
Пример 2.1. С помощью уравнения (2.14) показать, что касательные к любой
поверхности компоненты напряженности электрического поля непрерывны.
Решение. Строим контур (рис. 2.3) в виде малого прямоугольника размером а
х h, плоскость которого перпендикулярна рассматриваемой поверхности S.
Векторы т, is, п образуют тройку взаимно перпендикулярных ортов. Вычисляя
циркуляцию вектора Е вдоль контура и пользуясь (2.14), находим
(j) Е • dl ~ (Е/2т ~ Т)а + Ch = 0,
I
где Ch - интеграл по боковым участкам контура. При h -> 0, имеем Ch -" 0,
если поле ограничено на рассматриваемой поверхности (что мы будем пред-
hj~
^гпттпЯШ
(1)
П
7Т7щ
Рис. 2.3
110
Глава 2
полагать). Устремляя затем а -> 0, приходим к точному соотношению
Е2т = Е1т. (2.17)
Это соотношение относится к двумерным векторам - проекциям поля Е на
поверхность в некоторой точке.
Пример 2.2. С помощью уравнения (2.15) показать, что нормальная к любой
поверхности компонента Еп удовлетворяет условию
Е2п ~ Е1п = 4тго\
(2.18)
Здесь величина а - поверхностная плотность заряда - отлична от нуля,
только если объемная плотность заряда р имеет на рассматриваемой
поверхности дельтаобразную особенность:
р(г) = р(г) + а(и, v)S(z),
где р(г) - ограниченная составляющая объемной плотности, координата z
отсчитывается по нормали к поверхности, и, v - координаты,
характеризующие положение точки на поверхности. Такая особенность
возникает, если конечный заряд распределен в предельно тонком
поверхностном слое, т. е. на
математическом языке а = lim (hp).
h->0
Решение. Строим вспомогательный объем в виде малого цилиндра с основанием
A S' и высотой h (рис. 2.4). Нормаль п направлена из области 1 в область
2. Применив к выбранному объему равенство (2.15), получаем по
следовательно
У Е ¦ dS и Еп2 AS + Еп 1 AS+ ФН =
= (-E/2n - Ein) AS + Ф/j, ~ 47i(ph AS + <7 AS).
Здесь Ф/г - поток через боковую поверхность. Устремляя h -> 0 так, чтобы
основания цилиндра совместились с рассматриваемой поверхностью, получаем
точное граничное условие (2.18). ¦
2.1. Электростатика
111
В применении к электростатическому потенциалу, пользуясь уравнением
(2.8), получаем следующие граничные условия:
от от on on
Ввиду того, что потенциал ср определен с точностью до постоянной, первое
