Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат можно,
найдя градиенты V?, V77, VC и составив скалярные произведения • V77 и т.
д., которые оказываются равными нулю. Градиенты можно найти
непосредственно из уравнений, определяющих эллипсоидальные координаты
(см. условие задачи), беря градиент от обеих частей каждого из этих
уравнений.
1.95.
z = ±
Г(? + с2)0? + с2)1 1/2 Г (C + a2)(r] + a2) 1 1/2
с2 - a2 , r = a2 - c2
h! =
Wc '
,,3=r'
где
Щ - л/(? + ft2)(^ + °2)i Rv - л/ + cl2){-ti - c2);
A =
i-r]
r4{r4)+r4{r4
1 d2 r2 da2
98
Глава 1
1.96.
х = dL
Г(? + а2)(С + а2)1 1/2 (С + ь2)(С + ь2)] 1/2
а2-Ъ2 \ , Г = Ъ2-а2 \
h h h
hi = -^-, h2 = r, h3 =
2Щ
2 R(
где
щ = лД?ТЩ? + Щ, Rc = V(C + a2)(-C-b2y,
A =
?-c
1.97. h^ = hv =
й4(д4)+д4(д4
1 d2 r2 da2
-
a sin 77
(ch? - cosri)3 A = ----"----------------- x
ch ? - cos 77' ' ^ ch ? - cos 77 '
<9 1 9
+
9? у ch ? - cos г] 9?
+ 1 9 f sinr^ g \ +_______________________________1_(p_
sin г] <9тД ch? - cost] dr]) sin2 7?(ch? - cost]) da2
1.98. Поверхности p = const - тороиды:
(\Лс2 + y2 - acothp)2 + z2 = ) 5
поверхности ? = const - сферические сегменты:
(z - arctgC)2 +x2 + y2 = (^тЧ) ;
hp = he =
sin?>
= a h = ash p
^ ch p - cos ? ' a ch p - cos ? '
1.99. xvZv(x) + C, -x~uZu(x) + C.
1.100. 1,1/2, 1/(2 nn\).
1.107. 1. xu" + ur + x(a2 - n2/x2)u = 0.
2. Интеграл вычисляется с помощью уравнений для функций и(х) и v(x) =
Jn(bx).
1.4. Ответы и решения
99
3. Первое равенство (1.177) следует из (1.176) непосредственно, второе
получается путем предельного перехода.
1.111. Pi = х, Р2 = |(3ж2 - 1), Р3 = i(5a;3 - Зж),
Р4 = \(ЪЬхА - ЗОж2 + 3), Р5 = \{№хъ - 70ж3 + 15а;).
0 О
1.112. Интеграл, который следует вычислить, содержит произведение
1
производных f [(х2- [(х2- I)1 ](г ^dx. Пусть для определенности I' ^
I.
-1
1
Интегрируя по частям I раз, находим (-I)1 f(x2 - l)l[(x2 - I)1 }^1 ) dx.
-1
Второй сомножитель под интегралом отличен от нуля только при V = I. В
этом случае, переходя к интегрированию по углу $, получаем
1
[(х2 - 1)1[(х2 - 1)г](2г) dx =
-1 тг/2
(-1)г(2/)! 2 J (sm$)2l+1 d# = (-1)'(21)1 В (I + 1, 1/2).
Последний интеграл здесь выражен через бета-функцию (см. определение в
[Абрамович и Стиган (1979)]) формула 6.2.1:
7г/2
B(z,w) = ^ ^ j = 2 J (sm$)2z~1(cos$)2w~1 dfi.
о
Аккуратно сокращая факториалы и гамма-функции, получаем результат,
приведенный в условии задачи.
1.114. Р2 = (l + 3cos2tf)/4.
_ 2
1.115. -Л-:4г sin^-dP"
sin $
m
sin •&
Pzm = 0.
1.116. Применив формулу Лейбница, находим (1 - х2)т!2{(х + 1)1{х -
1)г](г+т) =
= f_1 W2 V ___________(Z + т)\ 1\ 1\_____ Т+л\к-т/2 , , sl-k+m/2
^fc!(/ + m-fc)!(fc-m)!(Z-fc)P j 1 J
100
Глава 1
(1 - х2)~т/2[(х + 1)1{х - =
= (-Л )-т/2 _______(? - щ)! И И______(Ti-\y+m/2( -,\l-s-m/2
s\(l-m-s)\(s+m)\(l-s)\ [ '
В обеих суммах пределы суммирования фактически определяются наличием
факториалов отрицательных целых чисел в знаменателях. Во второй сумме
выполняем замену индекса суммирования s -> к - га. В результате
множители, зависящие от к, в обеих суммах становятся одинаковыми.
Сравнивая их между собой, находим формулу, приведенную в условии задачи.
1.117.
Pl = Ри
Pi = -2Pf1 = (1 - х2)1/2 = sintf,
Р2 = - бР^1 = Зж(1 - х2)1/2 = 3 cos $ sin??,
Pi = 24Р2"2 = 3(1 - х2) = 3 sin2
Р31 = -I2P3-1 = |(5ж2 - 1)(1 -ж2)1/2 = |(5cos2tf - 1)sint?,
Р| = 120Р3-2 = 15ж(1 - х2) = 15 cost? sin2 Р| = -720Р3-3 = 15(1 - ж2)3/2
= 15 sin3 д.
Заметим, что присоединенные полиномы Лежандра в общем случае содержат
радикалы (1 - ж2)1/2 и полиномами, строго говоря, не являются.
1.118. При вычислении нормировочного интеграла используем формулу
(1.198) и метод решения задачи 1.112:
1 1
j [РГ(х)]2<1х = (-1 J РГ(х)РГт(х)<1х =
-1 -1
(2/)! (I + га)!
22ll\ l\ (I - га)!
Выразив бета-функцию через гамма-функции и произведя сокращения дробей,
найдем нормировочный множитель (с точностью до фазового множителя, по
модулю равного единице, который остается произвольным). В итоге
1.4. Ответы и решения
101
получаем нормированную сферическую функцию Лежандра:
Y, Ш , 21 + 1 cos2 d \1+т,2ъ, yijrnV'
т ' V 47Г (l+m)\ 211\ \dcosfi)
1.119. A sin+ .1 ^ + г(/ + 1)Уы = 0-
sm $ d# dv sm2 •& дер
1.120. -5/3, -2, 0, ехр(а) + ехр(-2а).
1.121. 0, f(a)5(x - a), S2S(x - 4) + 2S(x + 1).
1.123. <5(r)=2^<5(r_L)<5(z), <5(r-a)=^<5(r_L-a_L)<5(a-a0)<5(2:-az).
Чтобы осуществить предельный переход а -> 0, нужно не только устремить к
нулю величины a±,a^, но и усреднить правую часть по азимутальному углу
ао, так как нулевой вектор не имеет направления.
1.124. 5(г) = -^г5(г),5(г - а) = -\5(r-a)?(cos$-cos'do)5(a-<^о)-
47г г а
s , s , s , s Г Зж2, если ж < 1,
1.125. f (х) = д(х) + 26(х - 1), где д(х) = < .
[ 2х, если ж > 1.
df 71
1.126. f'(x) = - + X] Д/аДя - ак), где АД = /(a/c+0) - f(ak-0),
аж /e=1
df /dx - обычная ("классическая") производная на участках плавного
изменения функции.
/_1 \т \
1.127. ---------/(m_n)(0) при ш ^ п, 0 при т < п.
1.128. При г ф г*, G - ограниченная дифференцируемая функция, и
