Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Плотность энергии электромагнитного поля в недиспергирующей среде
i(ee0#2 + рроН2)
Вектор Пойнтинга --Е х Н 47Г Е х Н
Уравнения Максвелла , jp 1 дв rot Е = - с at тт 47г . 1 dD rot Н =
-j н -- с с at div D = 47тр div В = 0 div D = р div В = 0
Материальные уравнения D = еЕ = Е + АлтР В = pH = Н + АтгМ j = XE D =
eeo E = eo E + P В = pp0H = p0(H + M) j = XE
Численные значения Таблица Д1.2
Наименование Обозначения Система СИ Гауссова система
Длина 1 1 м (метр) 102 см
Масса m 1 кг (килограмм) и со 0 1 1
Время t 1 с (секунда) 1 С
Сила F 1 Н (ньютон) 105 дин
Энергия <?, W 1 Дж (джоуль) 107 эрг
Интенсивность излучения (мощность) I 1 Вт (ватт) 107 эрг/с
Давление P 1 Па (паскаль) 10 дин/см2
Сила тока J 1 А (Ампер) 3 • 109 см3/2 - г1/2/с2
Электрический заряд e, q 1 Кл (кулон) 3 • 109 см3/2 - г1/2/с
Напряженность электрического поля E 1 В/м (вольт на метр) 1/3 • 10-4
г1/2/см1/2- с
Скалярный потенциал ? 1 В (вольт) 1/3 • 10"2 см1/2- г1/2/ с
Поляризация P 1 Кл/м2 (кулон на квадратный метр) 3 • 105
г1/2/см1/2- с
Электрическая индукция D 1 Кл/м2 (кулон на квадратный метр) 12 •
105 г1/2/см1/2 • с
Электрическая емкость С 1 Ф (фарада) 9 • 1011 см
Электрическое сопротивление R 1 Ом (ом) ^ • 10-11 с/см
Перевод величин из системы СИ в гауссову и обратно
691
Таблица Д1.2 (окончание)
Наименование Обозначения Система СИ Гауссова система
Удельная электропроводность А 1 См/м (сименс на метр) 9 • 109 с-1
Магнитный поток Ф 1 Вб (вебер) 108 Мкс
Магнитная индукция В 1 Т (тесла) о о
Напряженность магнитного поля Н 1 A/м (ампер на метр) 4- 1СГ3 Э
Намагниченность м 1 A/м (ампер на метр) 7 • 104 Гс 4
Индуктивность L 1 Г (генри) 109 см
Дополнение 2
Вариационный принцип для непрерывных систем
Классическая механика, основы которой были сформулированы Ньютоном,
явилась первой физической научной теорией в современном понимании. Она
послужила основой для развития других областей теоретической физики:
электродинамики, квантовой механики, статистической физики, теории
элементарных частиц и т. д. Математические методы и многие понятия,
разработанные в классической механике, широко используются в других
разделах теоретической физики. Вариационный принцип является одной из
наиболее глубоких идей, внесенных классической механикой в классическую и
квантовую теорию поля. Поэтому естественный путь введения его в
классическую теорию поля - это предельный переход от механики дискретных
точечных масс к механике непрерывной системы.
Колебания упругой среды как предел колебаний дискретных точечных масс.
Рассмотрим линейную цепочку точечных масс га, соединенных пружинами
одинаковой жесткости к (рис. Д2.1). Вспомним описание дви-
Рис. Д2.1
жения такой системы в классической механике. Вводятся обобщенные
координаты qn(t) - отклонения точечных масс от равновесных положений.
Вариационный принцип для непрерывных систем
693
Кинетическая Т и потенциальная U энергии системы даются выражениями:
N N
T = ±Y,(tm)&, U=\Y^k{qn+i-qn)2. (Д2.1)
71=1 71=1
Будем считать крайние массы закрепленными в равновесных положениях, так
что <7i = <7дг = 0 при всех t.
Уравнения движения системы можно получить из условия стационар-
t2
ности действия ?? = 0, где S = / L(qn, qn) dt,
ti
L(qn, Чп) = Т - и = | ^2 [m4n - НЯп+1 - qnf} ¦ (Д2.2)
п
Условие 5S = 0 приводит к уравнениям движения в лагранжевой форме
= (Д2.3)
dt dqn dqn которые при подстановке (Д2.2) принимают вид
mQn ^(<?7i+1 Qn) Н- k(qn Qn-l) = О- (Д2-4)
Будем рассматривать нашу механическую систему как дискретную модель
упругого стержня. Чтобы наша модель стала адекватна тому, что принято в
механике сплошной среды называть упругим стержнем, необходимо выполнить
предельный переход к непрерывной системе (число масс будет стремиться к
бесконечности, а равновесное расстояние а между ними - к нулю). Нас будет
особенно интересовать, как модифицируются при таком предельном переходе
функция Лагранжа и вариационный принцип. Но мы начнем рассмотрение с
предельного перехода в уравнениях движения.
Поделим обе части (Д2.4) на равновесную длину одного звена а и перепишем
это равенство в виде
Щп _ ka(/>n+l~qn^ + ка• (Д2.5)
Отношение тп/а = fi представляет собой массу, приходящуюся на единицу
длины стержня. Эта масса должна рассматриваться как постоянная.
Произведение ка входит в выражение силы, действующей между соседними
694
Дополнение 2
массами: F = k(qn+1 - qn) = kaqn+1a--. Отношение ? = ^n+1Q-- представляет
собой относительное удлинение одного звена; вспомним, что по закону Гука
F = где ? - относительное удлинение, Е - модуль Юнга - одна из упругих
постоянных вещества. Таким образом, ка = Е имеет смысл модуля Юнга и
должна считаться постоянной при предельном переходе.
Введем, далее, равновесную координату n-го узла: хп = па. Для дискретной
системы она меняется скачками, но при предельном переходе а -> 0, п -> оо
величина х становится непрерывной переменной (декартовой координатой).
Рассматривая а как малое приращение координаты х, имеем
