Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
примере 6.12.
Уравнение Дирака позволило только установить связь между спинорами % и
(р. Для их вычисления нужно потребовать, чтобы в рассматриваемом
состоянии имела определенное значение проекция спина на некоторое
направление п. С помощью оператора спина (см. пример 6.16) записываем
соответствующее уравнение (1/2)(п • U)u = fiu или систему уравнений для
двух спиноров
где fi - собственное значение проекции спина. Сравнивая (7) и (4),
приходим к выводу, что при заданном значении вектора импульса р спин
может иметь определенное значение проекции только на направление импульса
п = р/р, так как проекции оператора спина Э на разные оси не коммутируют
и уравнения (4), (7) при произвольном п не могут удовлетворяться
одновременно.
Уравнения (7) одинаковы. Явный вид оператора (п • а) легко записать с
помощью формул (6.113):
где углы в, ф определяют направление оси квантования (импульса) в
некоторой инерциальной системе координат (ж, у, z). Решая уравнение
(7)
(1/2)(тг ¦ Э)(р = щр, (1/2)(п-Э)\ = цх,
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
627
находим собственные значения проекций спина ^ = ±1/2 и собственные
спиноры
(л п\ Iе гф/2 cos(6>/2) \
(10) "./2 = ( еда51"до2) J' =
-e-^/2sin(6"/2)
cos(<9/2)
Напомним, что любая волновая функция в квантовой механике определена с
точностью до фазового множителя вида ет, а - действительная постоянная.
Если ось Oz совмещена с направлением импульса п, то в = 0 и спиноры можно
записать в виде
(П)
Wl/2 =
W-1/2 =
опустив фазовые множители е±г^/2.
Собирая воедино полученные результаты, приходим к выводу, что заданному
импульсу р соответствует 4 разных биспинора, описывающих разные
физические состояния релятивистской частицы. Нумеруя их индексом А, имеем
А 1 2 3 4
состояние ±, 1/2 ±, -1/2 - I/2 - "I/2
Четыре пары величин во второй строке указывают знак энергии и значение
проекции спина. Биспиноры имеют вид
и\(р) = N 2цср
(12)
? ± тс 2 /лер
U\(p) = TV g
- тс Wfj,
§ ^ me2, A = 1,2;
ё ^ -тс2 А = 3, 4.
Здесь wц дается выражениями (10) или (11), множитель
тс"
2д/т2с4 р2 с2
обеспечивает условие нормировки (2). Отметим, что все 4 биспинора
соответствуют разным собственным значениям эрмитовых операторов - га-
628
Глава 6
мильтониана и проекции спина на импульс. Поэтому они все взаимно
ортогональны и удовлетворяют условию полноты:
4
(13) u^,ua = <5aa', ^и*хчи\к = Sjk,
А=1
где индексы j, к = 1, 2, 3, 4 нумеруют компоненты биспинора. В дираков-
ских обозначениях
4
(14) <A'|A> = 5av, $>><А| = 1.
А=1
Оператор взаимодействия релятивистской частицы с фотонами.
Как и в случае нерелятивистской системы (см. раздел 6.2), нужно выделить
из дираковского гамильтониана (6.116), учитывающего взаимодействие с
внешним полем, слагаемые, связывающие частицу с фотонной подсистемой.
Оператор (6.116) содержит единственное такое слагаемое
V = -ей • А(г), (6.126)
где й - матрица Дирака (6.112), А(г) - оператор векторного
потенциала (6.13). При наличии системы дираковских частиц
нужно взять сумму
выражений (6.126) по всем частицам:
N
V =-Y,ea*a-A(ra). (6.127)
а=1
Невозмущенная волновая функция, как и в нерелятивистском случае,
представляет собой произведение векторов состояний частиц и
электромагнитного поля.
Пример 6.18. Фотон с волновым вектором ко и поляризацией во рассеивается
на свободном электроне, который первоначально имел пренебрежимо малый
(нулевой) импульс. Вычислить вероятность в единицу времени и
дифференциальное сечение процесса, в результате которого фотон перейдет в
состояние с волновым вектором к и поляризацией е. Провести усреднение по
поляризациям начального фотона и по спиновым состояниям электрона.
Проанализировать различные соотношения между Hujq и тс2 (эффект
Комптона).
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
629
Решение. Процесс с двумя фотонными состояниями рассчитывается во втором
порядке теории возмущений. Задача сходна с рассмотренными ранее случаями
рассеяния фотонов связанными (атомными) электронами. Вероятность перехода
в единицу времени дается формулой (1) из решения задачи 6.67, в которой
надо использовать оператор возмущения (6.126):
(1) dwfi = Ц-
е" - ei
s/ ^Vk2dkdQ
Не'-е>)^Г'
где индексами г, Z, / обозначены начальное, промежуточное и конечное
состояния всей системы (электрон + фотоны).
При решении задачи 6.64 уже обсуждались два типа промежуточных состояний:
1. При первом переходе г -> I электрон поглощает первичный фотон, а на
втором этапе I -> / испускает рассеянный фотон.
2. При первом переходе i -> I электрон испускает рассеянный фотон, а
на втором переходе I -> / поглощает первичный фотон.
Рис. 6.3
Во всех трех состояниях электрон является свободным, и его можно
описывать волновыми функциями типа плоской волны (см. пример 6.17). При
этом структура матричных элементов (f\V\l), (l\V\i) такова, что
интегрирование по координатам производится от произведения трех экспонент
и обеспечивает закон сохранения импульса при каждом переходе:
