Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
выполним подстановку
где cp(r, t) и x(r, t) - двухкомпонентные функции (спиноры). Подставив Ф
в уравнение (6.109) с гамильтонианом (6.116) и использовав представление
(6.112) матриц Дирака, получим систему уравнений
Здесь мы рассматриваем A(r, t) как обычную функцию координат и времени
(оператор умножения), а скалярный потенциал электрического поля включен в
потенциальную энергию U.
4
(6.119)
А=1
где плотность тока вероятности
j(r, t) = сФ^(г, ?)аФ(г, t)
(6.120)
тока вероятности: je(r, t) = ej(r, t).
(1)
+ (2me2 - U)x = ca ¦ (p - | A^j ip.
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
623
В нерелятивистском случае имеем неравенство \ U\ <С тс2. Кроме того,
оператор ihd/dt, будучи применен к волновым функциям (/?, х, дает
множитель порядка \ 8 - тс2 | <С тс2. Поэтому во втором уравнении (1) в
левой части можно оставить самое большое слагаемое 2тс2х и получить
что дает оценку \х/у>\ ~ р/тс <С 1. Подставляем (2) в первое уравнение
(1) и преобразуем квадрат оператора:
= + ге^как) (р^ - | - | Д,) = (р - § ¦ Н.
Здесь использованы соотношения Н = V х А и
Н- &V&11 - 2$!Л1л \(г х tr] - ъст, &(i&v - Н- ге^к(тк
(6.121)
для двухрядных матриц Паули.
После подстановки (3) в первое уравнение (1) получим уравнение Паули
Ж = ±(р-1А)\и-?ГсЭ-Н. (6.122)
Слагаемое -(eh/2mc)a-H = -fi, H описывает взаимодействие спинового
магнитного момента электрона с внешним магнитным полем. ¦
Пример 6.15. На основе результатов двух предыдущих примеров записать в
приближении Паули плотность вероятности и плотность тока вероятности
через спинор (p(r, t).
Решение. С помощью (6.119) находим
2
p(r, t) = Yl I^aI2 = v4r, t)<p(r, t), (6.123)
А=1
так как малый спинор х Дает поправку порядка 1/с2. В том же приближении
имеем
(1) j(r, t) = с{(р]Эх + Х^у)-
624
Глава 6
Подставим в (1) выражение для х в виде формулы (2) из предыдущего
примера, а также
(2) Х=2ЫШ--с А)^Э-
После приведения подобных членов с использованием (6.121) находим
j(r, t) = x (ip^aip), (6.124)
что находится в согласии с результатом задачи 4.130 (но в той задаче не
учитывался спин и поэтому отсутствует спиновое слагаемое). ¦
Пример 6.16. Пусть движение релятивистской частицы описывается уравнением
Дирака. Показать, что в потенциальном поле с центральной симметрией
орбитальный момент частицы г х р относительно центра поля не сохраняется.
Показать также, что физическая величина J, оператор которой выражается в
виде
J = -irxV+|s, E = -|cixa=^J 2^ (6.125)
представляет собой интеграл движения, и ее можно интерпретировать,
следовательно, как полный момент импульса, сохраняющийся ввиду изотропии
пространства. Таким образом, оператор (1/2)? можно приписать внутреннему
моменту импульса (спину) частицы.
Решение. Оба оператора, I = -гг х V и XI, не зависят в представлении
Шредингера от времени, поэтому условием сохранения соответствующих
физических величин является их коммутативность с дираковским
гамильтонианом
(1) Ж = с(й • р) + Рте2 + U(г).
Вычисляем коммутаторы. Оба оператора коммутируют с U и с диагональной
матрицей /3, поэтому
(2 ) ^
-> ^ij\ = j^?ih'k&\(p\%i' %иР\)Рк, = ъсе^хкСххРк = ic[cxxp\i1 ф 0,
где использованы перестановочные соотношения Гейзенберга (Д3.23). Таким
образом, орбитальный момент не сохраняется.
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
625
Далее, используя представление (6.125) X) через матрицы й, находим
(3) - \^€, = ^Px^^vhi{p^i/Olkol\ dxdyd^) =
- "^Рх^/ликek,KS\u) - ic[cx.xp\i^ ^ 0.
Спин релятивистской частицы в центральном поле тоже не сохраняется. Но
оператор полного момента J = / + (1/2)5] коммутирует с гамильтонианом,
полный момент представляет собой интеграл движения (хотя его проекции
одновременно не имеют определенных значений). ¦
Пример 6.17. Получить все решения уравнения Дирака для свободной частицы,
отвечающие заданному импульсу р, но разным знакам энергии и разным
значениям проекции спина. Какие значения проекции спина возможны при
заданных импульсе и энергии?
Решение. Ищем решение уравнения Дирака для свободной частицы в виде
= uAex.p[i(p • г - 8t)/h\ = ^ ^ ^ Aex.p[i(p • г - 8t)/h\,
где А - нормировочный множитель координатной волновой функции, и -
не зависящий от координат и времени четырехкомпонентный биспинор, на
который наложим условие нормировки
(2) v)u = 1.
Множитель А = (2тгН)~3/2, если нормировка произведена на 5(р - р'), и А =
У-1/2, если использованы условия периодичности, как для фотонов в разделе
6.1.
Подставив (1) в уравнение Дирака, получим условие, которому должен
удовлетворять биспинор и:
(3) (ей • р + /Зтпс2 - 8)и = 0,
или, если использовать представление матриц Дирака через матрицы Пау-
ли (6.112),
(4) ^1 -ч , , 2
с{Э ¦ р)х + (me2 - i)ip = 0, с(<т • р)(р + (тс2 + (?)% = 0.
626
Глава 6
Из (4) следуют равенства
(5)
с(°--р)х с(а-р)(р
ИЛИ
82 - т2с4 82 - т2с4
с2(Э • р)2 с2р2
откуда находим возможные значения энергии:
(6)
8(р) = ±\/с2р2 + т2с4.
Вопрос об интерпретации отрицательных значений энергии уже обсуждался в
