Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(1) [с(а • р) + {Зтс2}Ч?р = <?ФР.
Умножив обе части последнего равенства на [с(а • р) + Рте2] и
воспользовавшись равенствами (6.115), получим искомую зависимость:
(2) с2р2 + ш2с4 = ё2.
Из этого равенства следует, что каждому значению абсолютной величины
импульса соответствует два значения энергии частицы:
(3) 8(р) = ±\/с2 р2 + т2с4.
В отличие от классической релятивистской механики, в данном случае
невозможно просто исключить решения с отрицательной энергией как не
имеющие физического смысла, так как без этих решений система волновых
функций дираковского гамильтониана потеряет свойство полноты. Без этого
свойства теряет силу вся традиционная вероятностная интерпретация
волновой функции и других квантовомеханических величин. В то же время
очевидно, что данные опыта не содержат никаких указаний, в том числе и в
квантовой области, на существование частиц с отрицательными энергиями. В
этом случае, в частности, были бы возможны спонтанные переходы из
состояний с положительной энергией в лежащие ниже по шкале энергий
состояния с отрицательной энергией.
Первая интерпретация электронов с отрицательной энергией принадлежит
Дираку. Он предположил, что в основном систоянии электронной системы все
одноэлектронные состояния с отрицательной энергией заполнены, а состояния
с положительной энергией свободны. Согласно принципу Паули, переходы в
заполненные состояния невозможны. Но пришлось также предположить, что
заполненный отрицательный "фон" не создает электрического поля и не дает
вклада в энергию и импульс системы.
Если вакуумное состояние всей системы электронейтрально, то незаполненное
состояние ("дырка") в дираковском фоне будет воспринято наблюдателем как
частица с положительной энергией и зарядом, противоположном по знаку
заряду электрона. Поглощение фотона с энергией hw > 2тс2 электроном с
отрицательной энергией и переход его в свободное состояние с 8 > тс2
можно интерпретировать как рождение двух
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
621
частиц с одинаковыми положительными массами т > 0 и зарядами ±е
противоположных знаков. Таким образом, теория Дирака и необходимость
интерпретации состояний с отрицательной энергией привели к предсказанию
существования античастиц - так именуются частицы с положительными
энергиями, но противоположными по знаку (по отношению к "частицам")
электрическими зарядами и спиновыми магнитными моментами. Первой
античастицей, открытой экспериментально в космических лучах Андерсоном в
1932 г., был положительный электрон - позитрон. Затем были открыты мюоны
и пионы с обоими знаками зарядов и в 50-х годах прошлого века -
антипротон и антинейтрон. Сейчас не вызывает сомнений тот факт, что
каждая частица имеет свою античастицу (электронейтральные частицы, не
имеющие магнитного момента, в некоторых случаях совпадают со своими
античастицами. Пример такой частицы - фотон). В настоящее время
"дырочная" интерпретация Дирака сохранила лишь историческое значение, но
теория Дирака и его уравнение получили многочисленные подтверждения и
лежат в основе релятивистской квантовой механики. ¦
Если на релятивистский фермион действует внешнее электромагнитное поле,
то оно может быть учтено, как и в нерелятивистском случае, путем замены в
(6.111) р -> р - (е/с)А и добавлением к гамильтониану слагаемого еср, где
(р - оператор скалярного потенциала (в координатном представлении
оператор умножения на функцию координат). В итоге гамильтониан примет вид
Ж = ей • (р - | А) + Рте2 + еср(г). (6.116)
Оператор А может включать в себя как классическое внешнее магнитное поле,
так и квантованный поперечный векторный потенциал, описывающий рождение и
уничтожение фотонов.
Пример 6.13. Вывести из уравнения Дирака с гамильтонианом (6.116)
уравнение непрерывности для плотности и тока вероятности релятивистской
частицы. Построить плотность вероятности заданного значения координат
частицы как неотрицательную величину p(r, t) ^ 0, удовлетворяющую закону
сохранения вероятности / p(r, t) d3г = const, где интеграл распространен
на все трехмерное пространство.
Решение. Запишем уравнение Дирака для Ф и эрмитовски сопряженной волновой
функции Ф^ = (Ф$, ФЬ ФЬ ФХ),
= |са • (р - | А) + /Зтс2 + e<p(r) j Ф, (6.117)
= Ф* j-са • (р + |А) + (Зтс2 + е^(г)|, (6.118)
622
Глава 6
где во втором уравнении дифференциальный оператор р действует на функцию
ф*, стоящую слева от него. Составим билинейную величину
и продифференцируем ее по времени с помощью соотношений (6.118). Получим
уравнение непрерывности
- действительный вектор. Полная вероятность сохраняется, f d3r = =
const, если плотность тока убывает быстрее, чем г-2. Плотность
электрического тока выражается как произведение заряда частицы на
плотность
Пример 6.14. Выполнить предельный переход от уравнения Дирака во внешнем
поле с гамильтонианом (6.116) к уравнению Паули, в котором учитывается
первая релятивистская поправка порядка 1/с.
Решение. Чтобы устранить энергию покоя частицы из уравнения движения,
