Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
цесса, при котором происходит поглощение одного фотона {ио\, fci, ei} и
рождение пары фотонов {с^2? ^2} и {сиз, кз, ез}, причем частоты
трех квантов связаны соотношением ио\ = со2 + а энергии начального и
конечного состояния рассеивающей системы одинаковы (когерентный процесс).
6.69. Два близко расположенных двухуровневых атома находятся в состоянии,
описываемом волновой функцией Ф1 = (|1)а|2)ь + |2)а|1)ь)/л/2. Определить
в низшем порядке теории возмущений вероятность испускания фотона.
Показать, что скорость спонтанного распада такой системы в два раза
больше, чем для каждого атома в отдельности (явление сверхизлучения).
Сравнить со случаем, когда начальное состояние описывается волновой
функцией Ф2 = (|1)а|2)ь - |2)0|1)ь)/\/2
6.70. Рассмотреть кооперативный эффект когерентного взаимодей-
ствия классических осцилляторов (см. задачу 5.122) на следующей
упрощенной модели. N одинаковых осцилляторов с собственной частотой си и
постоянной радиационного затухания 7 = 2е2 / Зтпс2 находятся в
малой
области пространства размером много меньше длины волны А их излучения.
Поскольку все осцилляторы одинаковы, затухание колебаний данного
осциллятора будет вызываться не только его полем излучения, но и полями
других осцилляторов. Поэтому уравнение движения а-го осциллятора примет
вид
Г а + 27Га + и>1 Га = ~ ^ 2'уГЬ,
Ъфа
где a, b = 1, 2, ..., N. В начальный момент времени осцилляторы начинают
колебаться с одинаковыми амплитудами го ив одной фазе. Вычислить форму
спектра излучения, амплитуду электромагнитного импульса и постоянную
затухания. Сравнить их с соответствующими величинами для системы
независимых осцилляторов.
618
Глава 6
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
В этом разделе будет рассмотрено несколько простых примеров и задач с
релятивистскими частицами. Мы проиллюстрируем основные физические идеи
простейшими способами, не претендуя на изложение строгой теоретической
схемы квантовой электродинамики в релятивистски ковариантной формулировке
и многочисленных конкретных задач, которые можно найти в книгах Ахиезера
и Берестецкого (1981), Берестецкого и др. (1989), Боголюбова и Ширкова
(1980)).
Релятивистское уравнение Дирака для фермионов. Уравнение Шредингера
(Д3.29) с оператором Гамильтона
неприменимо для описания релятивистских частиц, так как оно приводит к
нерелятивистскому соотношению между энергией и импульсом свободной
частицы: полагая U = 0 и подставив в (Д3.29) Ф(г, t) = Аехр[г(р • г -
- 8 t)/h], находим
Кроме того, однокомпонентная волновая функция Ф(г, t) никак не отражает
наличия у частицы спиновой степени свободы. Для описания релятивистских
электронов необходимо обеспечить релятивистскую связь энергии частицы 8 с
ее трехмерным импульсом р,
и включить в теорию описание внутреннего момента (спина). Релятивистское
волновое уравнение для частиц со спином s = 1/2 было открыто Дираком в
1928 г. Оно может быть записано в форме уравнения Шрединге-
Ж=^. + и(г,()
(6.106)
§ = \/ т2с4 + с2р2
(6.108)
ра (Д3.29)
(6.109)
в котором волновая функция
(6.110)
должна представлять собой четырехкомпонентную величину, а дираковский
гамильтониан свободной частицы
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
619
содержит четырехрядные матрицы Дирака
OL =
О сг а О
Р =
1 О О -1
(6.112)
Здесь использована сокращенная двухрядная форма записи, при которой
каждый элемент в четырехрядной матрице представляет собой двухрядную
матрицу:
О 1 \ ~ 0 -г ) ^ _ ( 1 0 \ т_/10
10 У ^ ^ г 0 ) ' az - \ 0 -1 J ' i_lv0 1
(6.113)
Аналогичная запись использована для четырехкомпонентной волновой функции
(биспинора). Величина т в (6.111) представляет собой массу частицы,
оператор р = -ihV соответствует ее трехмерному импульсу. Матрицы Паули ?
и 1 составляют полный набор двухрядных эрмитовых матриц, которые можно
использовать для представления произвольной двухрядной матрицы. Матрицы
Дирака в четырехрядной записи имеют вид
(0 0 0 1 \ / ' 0 0 0
0 0 1 0 1 - 0 0 г
- 0 1 0 0 ' °Ly - 0 -г 0
V 1 0 0 0/ \ г 0 0
/ о 0 1 °\ ( 1 0 0
0 0 0 -1 0 1 0
OLz - 1 0 0 0 , р = 0 0 -1
\0 - -1 0 0/ \0 0 0
(6.114)
Все матрицы Дирака эрмитовы и удовлетворяют соотношениям антикоммутации
{а, Д} = 0,
li,v = X,y,z.
(6.115)
Уравнения (6.109), (6.111) представляют собой лишь одну из возможных форм
записи уравнения Дирака для свободной частицы ("стандартное
представление"). Другие формы уравнения можно получить, производя
унитарное преобразование волновой функции и матриц Дирака.
Пример 6.12. Пусть решение уравнения Дирака для свободной частицы
описывает состояние с определенным импульсом р и энергией 8. Эти величины
существуют одновременно, так как их операторы коммутируют. Найти
зависимость 8(р), следующую из уравнения.
620
Глава 6
Решение. Для состояний с определенными р и 8 имеем
= 8ФР,
где Ж дается формулой (6.111), а - четырехкомпонентная волновая функция
(биспинор). Из написанных равенств имеем
