Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
интегрированию по частотам и направлениям вылета фотона (а также
суммированию по его поляризациям) находим, что постоянная затухания 7 =
имеет действительную и мнимую части. Действительная часть имеет вид
2тг I 1тлоп\ 12?/ . ,Vcu2dcudn
(9) 1 = I <lsN20> |2^o - Ш)
(27Гс)
3
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 615
и представляет собой полную вероятность спонтанного излучения атома (см.
формулы (6.59) и далее). Для разрешенных переходов в атомах 7' " 108-109
с-1 (см., например, задачу 6.50), тогда как частоты оптических переходов
порядка 1016 с-1. Поэтому условие 7' <С соо выполняется с большим
запасом.
Мнимая часть постоянной затухания дает сдвиг атомного уровня за счет
взаимодействия электрона с нулевыми колебаниями поля (лэмбовский сдвиг,
рассмотренный на оценочном уровне в задаче 6.18):
2 ruldwdn
LUo - LU
Интеграл по частотам в (10) расходится, и получение корректного значения
малого радиационного сдвига требует специальных методов (см. монографии и
учебники Ахиезера и Берестецкого (1981), Берестецкого и др. (1989),
Боголюбова и Ширкова (1980)).
Вероятность излучения квантов разных частот (форму спектральной линии)
найдем с помощью (2) и (6):
(11) dw(w) = J
|(1а|У|20)|2 Гш2 di0dtt ft2[(u,-w о)2 + 72/4] (2тг с)3
Теперь мы пренебрегаем малым радиационным сдвигом и понимаем под 7
действительную величину 7'. Ввиду малой ширины спектральной линии можно
всюду в (11), кроме знаменателя и дифференциала, заменить со на соо.
Сравнивая правую часть (11) с (9), находим
(12) dw(L0) = ^-----------Щ--------.
2тг (и - cj0) + 7 /4
Мы снова получили лоренцев контур, как и в классическом случае (см.
задачу 5.122, формула (6)). Но радиационная ширина 7 спектральной линии
теперь определяется вероятностью квантового перехода между атомными
уровнями. ¦
Задачи
6.58*. Записать операторы свободного электромагнитного поля в
представлении взаимодействия, которое определено формулами (6.89),
(6.90).
6.59*. Записать в представлении взаимодействия оператор (6.102)
взаимодействия атома с квантованным полем.
616
Глава 6
6.60*. Выразить волновую функцию Ф/(?) в представлении взаимодействия
через волновую функцию ^s(t) в представлении Шредингера. Записать
уравнение Шредингера для Ф/(?).
6.61. Силами осцилляторов атомных электронов называются величины
fin = ^7^Uin\(dz)in\2,
he
где I, п - полные наборы квантовых чисел, характеризующих состояния
атомной системы, uin - частота перехода, (dz)in - матричный элемент одной
из декартовых компонент электрического дипольного момента атома. Доказать
правило сумм: fin = N. Здесь N - полное число электронов
I
в системе, сумма берется по полному набору атомных состояний.
6.62. Вычислить поляризуемость основного состояния квантовой системы
частиц в постоянном электрическом поле, выразив ее через матричные
элементы дипольного момента. По определению тензор поляризуемости
связывает вектор дипольного момента, индуцированного слабым внешним
полем, с вектором напряженности поля.
6.63. Определить в дипольном приближении скорость вынужденного перехода
(вероятность перехода в единицу времени) для двухуровневой атомной
системы, взаимодействующей с хаотическим стационарным электромагнитным
полем. Матрица плотности рпп поля диагональна в представлении фоковских
состояний и не зависит от времени.
6.64*. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния света атомом.
Ограничиться нерезонансным случаем, когда энергии падающего и рассеянного
фотонов не равны разностям энергий атомных уровней7.
6.65*. Вычислить дифференциальное сечение нерезонансного рассеяния
фотонов атомом, используя потенциал взаимодействия в дипольном
приближении (см. формулу (6.102)). Сравнить с результатом предыдущей
задачи и показать, что разные формы потенциала взаимодействия приводят к
одинаковым выражениям для сечения.
6.66. Проанализировать предельные случаи формулы (2), полученной в
предыдущей задаче:
1. Рассмотреть рассеяние без изменения частоты (релеевское рассеяние),
когда U02 = = ио иоц для всех промежуточных состояний. По-
казать, что в этом случае получается результат, близкий к формулам задачи
5.127 о рассеянии электромагнитной волны классическим осциллятором.
7В этой и следующих задачах мы говорим об атомах, хотя большинство
полученных ниже формул справедливо и для более сложных объектов -
молекул, твердых тел и т. д.
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 617
2. Показать, что если энергия рассеиваемых квантов велика по сравнению
с энергией связи электронов (но много меньше тс2), то сечение рассеяния
переходит в формулу Томсона (см. задачи 5.127, 5.133).
6.67*. Вычислить в первом неисчезающем порядке теории возмущений
вероятности двухфотонного поглощения и излучения света атомами, выразив
их через матричные элементы соответствующих переходов. Проанализировать
правила отбора для этих процессов. Расчет провести в рамках дипольного
приближения.
6.68. Вычислить вероятность параметрической генерации света - про-
