Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(в предыдущем рассмотрении для сокращения письма мы полагали R = 0).
В приложениях часто рассматривается взаимодействие с излучением,
квазирезонансным какому-либо переходу в атоме. Для произвольного
перехода, характеризуемого набором нижних энергетических состояний |га) и
верхних состояний |п), оператор дипольного момента может быть представлен
в виде суммы двух слагаемых
Предположим, что данному атомному переходу соответствует частота сио и
атом взаимодействует с квазирезонансным излучением частоты и, так что \си
- сио\ <С соо. В этих условиях в разложениях теории возмущений,
основанных на операторе взаимодействия (6.102), главными оказываются
резонансные вклады, т. е. вклады, экспоненциальные факторы которых
осциллируют на разностной частоте. Если ограничиться рассмотрением только
резонансных вкладов, то вместо (6.102) достаточно рассматривать оператор
взаимодействия в виде
если атом расположен в начале координат. Для атома, расположенного в
произвольной пространственной точке R, соответственно имеем
Приближение (6.104), (6.105) известно как приближение вращающейся волны.
Принципиальным для приближения вращающейся волны является то, что даже
для виртуальных промежуточных переходов, рассматриваемых в высших
порядках теории возмущений, учитываются только такие переходы в
возбужденное состояние, которые сопровождаются поглощением фотона, а в
основное состояние его излучением. Отметим, что приближение вращающейся
волны является наиболее распространенным при проведении практических
расчетов, не основанных на приближениях теории возмущений.
V = -d • E(R)
(6.102)
d = ^2(dnm\n)(m\ + dmn\m)(n\) = d+ + 2_. (6.103)
mn
j
1/2
\г{е^+)а^к^п - Щ2-)а)е~1к^Щ . (6.105)
J
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 613
Рекомендуемая литература: [Перина (1987)], [Андреев и др. (1988)], [Коэн-
Таннуджи и др. (1992)], [Мандель и Вольф (2000)], [Килин (1990)], [Клышко
(1996)], [Ахманов и Никитин (1998)].
Пример 6.11. До сих пор мы рассматривали все состояния атома как строго
стационарные, квадрат модуля волновой функции которых не зависит от
времени {см. (Д3.37)). Но в результате взаимодействия электронов с
электромагнитным полем происходят переходы из возбужденных состояний в
основное (и в ниже лежащие возбужденные), вследствие чего время жизни
возбужденных состояний оказывается конечным. Это неизбежно приведет к
тому, что волновая функция реального возбужденного состояния будет
представлять собой суперпозицию волновых функций с разными энергиями
(квазистационарное состояние), а испускаемые при переходе из
возбужденного в основное состояние фотоны будут иметь разные энергии.
Вычислить для двухуровневого атома распределение фотонов по энергиям для
заданного перехода в вакууме, предполагая, что время жизни возбужденного
состояния велико по сравнению с обратной частотой перехода (форма
спектральной линии).
Решение. Ищем решение для волновой функции системы двухуровневый атом +
поле в виде
14>{t)) = ^aia(?)|l)|ls) exp[i(ws - i/h)t\ + a2o(t)\2)\vac) exp(-^?t).
Здесь учитываются только вакуумное состояние поля и однофотонные
состояния. В начальном состоянии отсутствуют кванты и имеется
возбужденный атом, a2o(0) = 1, ais(0) = 0. В конечном состоянии, при t ->
оо, атом переходит в свое основное состояние и излучается квант с
некоторой частотой со. В формуле (1) выделены временные множители
невозмущенных волновых функций атома и фотона, s представляет собой
индекс моды, в которую излучается квант. Распределение излучаемых квантов
по частотам можно вычислить по формуле
(1)
s
где производится интегрирование только по направлениям вылета кванта (не
по частотам) и суммирование по его поляризациям.
614
Глава 6
Подставив (1) в уравнение Шредингера (Д3.29), находим систему уравнений
для коэффициентов разложения:
(3) ihaiq = {lq\V\2Q)a2o(t) exp[i(wg - cu0)t],
(4) iha2о = ^(20|F|ls)ais(t) exp[i(wo - u8)t].
S
Здесь через coo обозначена частота перехода (J$2 - )/h. Чтобы найти при-
ближенное решение системы (3)-(4), выразим его через неизвестную
постоянную затухания 7 возбужденного уровня:
(5) a20(t) = e~lt/2.
Из уравнения (2) находим решение, удовлетворяющее начальному условию:
(6) alq(t) = -(lq\V\20)
ехр[i(cuq - uoq + i~f/2)t) - 1 h(uq - CJo + 27/2)
Подстановка этого решения в (4) дает трансцендентное уравнение для
определения 7:
|(ls|t>|20)|2
(7) -T = -----------^т{1-ехр[г(шо-^-г7/2)^]}.
? ^ Ци0 -и>а- *7/2)
Это приближенное уравнение можно считать корректным, если при больших
временах правая часть перестает зависеть от t. В правильности последнего
утверждения можно убедиться, решая указанное уравнение методом
последовательных приближений в предположении малости 7. В нулевом
приближении полагаем в правой части 7 = 0 (см. Гайтлер (1956)) и
переходим к пределу больших времен (см. формулы (1.216), (1.224а)):
1 - exp[i(w0 - b>8)t]
(Ь)
CU о - cus
со о - cos
- i7rS(cUo - cos).
После подстановки (8) в (7) и перехода от суммирования по модам к
