Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
УКАЗАНИЕ. Согласно принципу суперпозиции и правилам сложения угловых
моментов в квантовой механике спин-угловую волновую функцию, описывающую
состояние электрона с определенными j, ттг^, /, можно записать в виде
суперпозиции (разложение Клебша-Гордана, ср. с задачей 6.46)
Здесь Хм - спинор, описывающий состояние с проекцией спина /х = ±1/2 на
ось квантования, коэффициенты разложения обеспечивают неравенство
треугольника / + 1/2 ^ j ^ | Z - 1/21 и правило сложения проекций
моментов mj - т + ц.
6.54*. За счет взаимодействия между магнитными моментами электрона и
протона энергетический уровень атома водорода расщепляется на два
подуровня (сверхтонкое расщепление), расстояние между которыми Аё " 1420
МГц ^ 5,9 х 10_6 эВ. Верхний уровень - триплетный, полный момент атома 5
= 1, нижний - синглетный, 5 = 0. Вычислить вероятность электромагнитного
перехода между указанными компонентами сверхтонкой структуры.
6.55*. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, облучается
направленным пучком фотонов с частотой и. Энергия фотонов удовлетворяет
условию hw /о, где /о - энергия связи (ионизационный потенциал) атома.
Вычислить сечение фотоионизации атома поляризованным излучением с вылетом
электрона в заданном направлении, а также суммарное по всем направлениям
сечение фотоионизации неполяризованным излучением, считая электрон в
конечном состоянии свободным.
6.56. Вычислить полное сечение фоторекомбинации атома водорода (процесс,
обратный фотоионизации). Электрон в начальном состоянии считать
свободным, атом образуется в основном состоянии.
6.57*. Записать магнитный дипольный момент перехода (6.80) через
матричный элемент полного магнитного момента М излучающей частицы:
nfi = J d3r, M=^-c(j+gsy (6.86)
606
Глава 6
где согласно (4.76), (4.79) и принципу соответствия Z, s - безразмерные
операторы орбитального и спинового моментов частицы, для электрона фактор
д " 2.
Теория возмущений для матрицы плотности. Ниже мы рассмотрим некоторые
специальные приемы решения электродинамических задач, широко используемые
в современной литературе. Они базируются на изложенной выше общей теории
и могут относиться к любой нерелятивистской системе заряженных частиц
(атом, молекула, твердое тело, атомное ядро). Для упрощения письма будем
использовать название "атом" для любой такой системы.
Используем уравнения (6.21), (6.55) и запишем полный гамильтониан системы
зарядов, взаимодействующих с квантованным электромагнитным полем, в виде
суммы
где Ж/ - оператор свободного поля излучения (6.21), Жа - гамильтониан
атома, не взаимодействующего с полем излучения (но он может находиться во
внешних статических электрическом и магнитном полях), V - оператор
взаимодействия атома с квантованным полем,
Первые два слагаемых линейны, а последнее квадратично относительно
операторов поля.
Пример 6.10. Пусть в начальный момент времени to состояние полной системы
атом + поле было известно и описывалось оператором плотности p(t0) =
pa(to)f>f(to), действующим на переменные атомной системы и поля.
Вычислить во втором порядке по взаимодействию V оператор плотности для
времен t > to.
Решение. Оператор плотности полной системы удовлетворяет уравнению
Лиувилля-Шредингера (Д3.42)
где Ж - полный оператор Гамильтона системы (6.87). Формальное решение
этого уравнения в отсутствие зависимости Ж от времени имеет вид
Ж = Ж/ + Жа + V,
(6.87)
А2(га) I. (6.88)
(1)
(2) pit) = exp
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 607
Но это решение мало полезно для практических расчетов, поскольку найти
простое замкнутое выражение для оператора плотности в экспоненциальных
"обкладках" (правая часть (2)) очень нелегко. Более удобно найти
приближенное решение методом последовательных приближений, которым можно
пользоваться на ограниченных временах. Сделаем в (1) подстановку
¦%b(t - t0) j pi(t)exp - *o) j,
где
(4) Жо = J'jfy + Жа
- гамильтониан системы атом + поле излучения в отсутствие
взаимодействия между ними. Величина
hit) =ехр||
представляет собой оператор плотности в представлении взаимодействия.
Зависимость р/ от времени вызвана только наличием взаимодействия. При V =
0, pi(t) = p(to) не зависит от времени.
Для оператора плотности в представлении взаимодействия из (1) и (6.89)
получаем уравнение
(5) Mt)\ = 0,
где
^o(t - ?0)j exp j -- *o)j (6.90)
- оператор взаимодействия в представлении взаимодействия. Уравнение
(5) можно записать в интегральной форме
t
(6) pi(t) = pi(to) - | J [Vi(t), p>(r)] dr
to
и решать методом последовательных приближений, выбрав в качестве нулевого
приближения значение оператора плотности в начальный момент: p^\t) = pi
(to) = p(to). Тогда из (6) получаем оператор плотности
VT(t) =ехр||
ж0(t - to) \ p(t) exp -\ж0(t - to)
-г
(6.89)
(3) p(t) = ex р| -|
608
Глава 6
с учетом члена первого порядка
t
(7)
= p(tо) - |
riij), pit о)] dr
to
и с учетом члена второго порядка
t
(8) pf\t) = p(t0)-y_ J [У/(т), p(t0)] rfr+
