Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Электрическое квадрупольное и магнитное дипольное излучение.
Если электрический дипольный момент перехода между рассматриваемыми
состояниями обращается в нуль, то излучение определяется членами более
высокого порядка разложения экспоненты. Следующий член разложения даст
матричный элемент
Дальнейшие преобразования повторяют те, которые уже были выполнены в
классической теории (см. пример 5.6 из раздела 5.2). После их выполнения
получим
Первый интеграл в фигурных скобках представляет собой магнитный момент
перехода:
Во втором интеграле используем уравнение непрерывности V j fi = -icopfi и
вводим квадрупольный момент перехода:
(6.79)
лебаниям, путем замены р2 -> 4u4\pfi\2.
с
1
/
jfi ¦ A*(r)d3r =
ICO
С
(6.80)
(Qfi)a/3 = / (зХаХ/з - г28ap)pfi(r) d3r.
(6.81)
В итоге будем иметь
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 603
где (Qfi)a - (Qfi)apnp- После подстановки этого выражения в (6.59)
получим вероятность испускания кванта с определенной поляризацией и
волновым вектором:
dwsp =
со
2тг he3
Vfi Х П lQc(r)f
d?lk-
(6.82)
Суммирование по поляризациям с использованием формулы (2.165) и умножение
на Нсо дает интенсивность излучения в данном направлении:
dl
dQ,
Kx"P + ^|Q/,x"|4
+ '? [<3/.' [<•/. X "] - Q" ¦ [(•/¦ X n]] . (6.83)
6c
Сходство с классическим выражением (5.38) очевидно. Интегрирование по
телесному углу позволяет получить суммарную по всем направлениям
интенсивность излучения на частоте перехода между квантовыми уровнями:
(6.84)
Рекомендуемая литература: [Берестецкий и др. (1989)], [Бете и Сол-питер
(I960)], [Гайтлер (1956)], [Фейнман (2000)], [Ахиезер и Берестецкий
(1981)].
Задачи
6.47*. Начальное состояние электрона в центрально-симметричном поле
определяется набором четырех квантовых чисел: главного п = = 1,2,...,
орбитального I = 0, 1, ..., п - 1 и двух магнитных, mi = = 0, ±1, ±2,
..., d=Z, ms = ±1/2, определяющих проекции орбитального и спинового
моментов на ось квантования. Показать, что после электрического
дипольного излучения фотона возможны конечные состояния с квантовыми
числами
rris = ms; V = I dz 1 (V = 1 при I = 0); m[ = m/, mi db 1; (6.85)
n' - любое, совместимое с предыдущими условиями и неравенством ёf < ё^
(правила отбора для электрического дипольного излучения). Поскольку А1 =
±1, то при электрическом дипольном переходе изменяется четность волновой
функции электрона (см. пример 1.20).
604
Глава 6
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться разложением Клебша - Гордана (см. [Ландау и
Лнфшнц, Квантовая механика], глава 14)
Yhmi(i), <p)Yhm2(#, V) = J2 \ (211a+^t212^ ^<p),
тй V 47r(2L + J)
где коэффициенты Клебша - Гордана С отличны от нуля только при выполнении
неравенств треугольника h + /2 ^ L ^ \h - fa\ и подчиняются целому ряду
соотношений симметрии, в частности, Cf^^1;2m2 = {-l)ll+h+LCfl'~r^lh _m2.
6.48. Электрон в атоме водорода находится в возбужденном состоянии 2р.
Вычислить вероятности спонтанных переходов в единицу времени в основное
состояние Is из состояний с разными значениями магнитного квантового
числа mi = 0, ±1, которые сопровождаются испусканием одного линейно
поляризованного фотона в заданном направлении п. Сравнить угловые
распределения для различных переходов. Записать, в частности, угловое
распределение излучения, просуммированное по поляризациям фотонов и
угловое распределение излучения от неполяризованных атомов.
6.49. Для случая, рассмотренного в задаче 5.23, произвести
квантовомеханический расчет и найти суммарную по всем направлениям
интенсивность излучения атома водорода.
6.50*. Вычислить среднее время жизни г атома водорода в возбужденном
состоянии 2р относительно спонтанного излучения фотонов.
6.51. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии Is.
Возможно ли перевести его в возбужденное состояние 2р, mi = +1, облучая
атом поляризованными фотонами? При какой поляризации фотонов будет
заселяться только состояние mi = -1? состояние mi = 0?
Указание. Полезно использовать результат решения задачи 6.20.
6.52. Спектральная линия Лаймана в атоме водорода возникает как результат
электрических дипольных переходов из состояний 2р, 3р, . . . в основное
состояние Is. Вычислить и сравнить интенсивности I двух первых
спектральных линий этой серии Lya (переход 2р -> Is) и Lyp (переход Зр ->
Is) при спонтанном излучении.
УКАЗАНИЕ. Радиальная волновая функция Зр-состояния имеет вид
Д31(г)= Д3/2e~r/3a°.
27V6c4/2
Другие волновые функции приведены при решении задачи 6.47.
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 605
6.53*. Взаимодействие электрона с нулевыми флуктуациями электромагнитного
поля приводит к расщеплению уровней 2s1/2 и 2р1/2 (лэмбов-ский сдвиг, AS
" 1058 МГц " 4,4 х 10_6 эВ, см. задачу 6.18). Индекс 1/2 обозначает
квантовое число j = 1/2 полного момента электрона. Выразить через атомные
постоянные и получить численное значение (в обратных секундах)
вероятности спонтанного перехода 2s1/2 -" 2pi/2-
