Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
у=-4Гср.А+^-2А2-"-Н. (6.57)
596
Глава 6
Здесь использована поперечность волновых функций фотонов, в силу которой
р • А = А р. Первый и третий члены в правой части (6.57) описывают
процессы излучения и поглощения одного фотона в каждой моде, тогда как
слагаемое с А2 описывает двухфотонные процессы.
В тех случаях, когда возможны те и другие процессы, вклад двухфотонных
переходов как правило мал. Оценим по порядку величины отношения отдельных
слагаемых в (6.57), заменяя операторы характерными значениями
соответствующих физических величин. Имеем
R _ (е2/2тс2)А2 ^ еА ^ eEX ^ v еЕХ (.е/тс)рА рс рс с ёкгп '
где р и §kin - характерные значения импульса и кинетической энергии
излучающей частицы. В атомах v/c " 10-2, 8кт ~ 5 эВ, Л ~ 10-5 см для
видимой части спектра. Поэтому Ra достигает единицы при значении
электрического поля Е > 107 В/см. Такие поля можно создать только мощными
лазерами. Для атомных ядер всегда Ra 1 ввиду отсутствия лазеров на
частотах гамма-квантов.
Для слагаемого, содержащего оператор магнитного момента, получим
^ цкА ^ v Нт м (е/тс)рА с 8кгп'
При переходах с испусканием и поглощением фотонов их энергия порядка
расстояний между уровнями излучающей системы, поэтому Ни ~ 8kin, a v/c ^
1 в нерелятивистских системах, таких, как электронные оболочки атомов и
молекул либо атомные ядра. Поэтому Rм < v/c <С 1. Но следует иметь в
виду, что эти оценки получены при "нормальном" значении вклада от
основного слагаемого (е/тс)р • А. Если по каким-либо причинам этот вклад
оказывается аномально малым, то оставшиеся слагаемые становятся
существенными. Интересуясь однофотонными процессами, мы можем взять
оператор взаимодействия без квадратичного слагаемого:
V = -?dA-p-fi-[VxA]. (6.58)
Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты Эйнштейна. Вычислим
вероятность испускания кванта с заданными волновым вектором и
поляризацией s = (fc,cr) в результате взаимодействия заряженной частицы с
электромагнитным полем. Начальное состояние поля задается числами
заполнения {Ns} всех мод. В конечном состоянии поля число заполнения моды
s становится равным Ns + 1, остальные 7VS/, sr ^ s
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния фотонов 597
остаются прежними. Частица совершает переход между состояниями |г) и |/),
относящимися к дискретному спектру. В первом приближении теории
возмущений вероятность перехода в единицу времени вычисляется по формуле
[Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]
dwrad = ^\(f\V\i)\2d(gi -Sf- Пш)Гк2 (6.59)
^ (2тт)
Эта вероятность является дифференциальной величиной, так как испущенный
фотон находится в непрерывном спектре и величина du = = Усо2 duo
d?lk/(27гс)3 представляет собой число квантовых состояний фотонов с
заданной поляризацией, приходящихся на интервал волновых векторов d3k.
Векторы начального и конечного состояний рассматриваемой системы в целом
представляют собой произведения волновых функций частицы и
электромагнитного поля:
|г) = фгФ^,}, |/) = ^/Ф{^+1}. (6.60)
В виде индекса указаны числа заполнения только той моды поля, в которую
происходит излучение. Используя (6.60), запишем матричный элемент в виде
(f\V\i) = (Ф{ме+1}
/А{
РФг)-Мг)~
-(^,^).[Vxi(r)]}|$№}}. (6.61)
Здесь d3r - элемент объема обычного пространства, круглыми скобками
обозначена операция суммирования по спиновой переменной.
Путем интегрирования по частям с учетом обращения в нуль волновых функций
частицы на бесконечности внутренний интеграл преобразуется к виду
ieh
(6.62)
где 3fi = ~2^ ((^/' V^*) - (W/, Фг)) + cV X О/, р-фг)
называется током перехода. При фf = ф^ = ф ток перехода превращается в
электрический ток, создаваемый заряженной частицей с магнитным
598
Глава 6
моментом в состоянии ф. При вычислении матричного элемента от оператора
А(г) по переменным поля воспользуемся формулами (6.56) и (Д3.63), из
которых следует
(Ф{аг.+1}|А(г)|Ф{Дт.}) = ^/Ns + lA*{r).
(6.63)
Из всей бесконечной суммы (6.56) срабатывает только один член с
оператором рождения фотона. В итоге получаем из (6.61)
(f\V\i) = ~lVNs + 1J jfi(r) ¦ A*{r) Sr. (6.64)
Вычисляя вероятность перехода в единицу времени согласно (6.59) и
произведя интегрирование по частоте фотона, находим вероятность излучения
dwrad =
(Ns + 1)cj2 47г2/г2 с5
A*s(r)d3r
dClk,
(6.65)
где oo = (8i - 8f)/h. Вероятность излучения состоит из двух слагаемых:
dwrad = dwind + dwsp. Одно из них, dwind = Ns dwsp, пропорционально числу
квантов Ns в рассматриваемой моде и называется вероятностью
индуцированного излучения, другое слагаемое отлично от нуля и в
отсутствие квантов в начальном состоянии. Это излучение называется
спонтанным [Эйнштейн (1916а)]:
dwsp =
си
47г2/г2 с5
/ iMr)
А* (г) d3r
d?lk.
(6.66)
В обычных источниках света (газосветные лампы, лампы накаливания, Солнце)
главную роль играет спонтанное излучение атомов, возбуждаемых при
столкновениях. Принимая для этих источников света температуру Т = (3
6) х 103 К, находим с помощью распределения Планка (6.23) Ns "
