Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
этом направлении уже сделаны обнадеживающие шаги.
6.41. Показать, что сжатые состояния могут быть получены из вакуумного
состояния в результате последовательного действия операторов
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
591
сдвига (см. (6.36)) и сжатия:
|/i, v, (3) = |г, ??, /3) = |7, (3) =SD |тс),
где = D(f3) = ехр (/За^ - /3* а) - оператор сдвига (смещения),
определенный в задаче 6.32, a S = 5(7) = ехр(7*а2/2 - 7^ /2) - оператор
сжатия; 7 = ге2г^ (см. (6.50)). Найти связь комплексных параметров р и и,
характеризующих сжатое состояние в общем случае, с парой вещественных
параметров г, $ и комплексным параметром 7. 5
6.42. Получить разложение сжатых состояний по базису когерентных
состояний. Показать, что в частном случае сжатых состояний с \р\2 - \и\2
= = 1 коэффициенты разложения могут быть найдены по формуле
/ I ml ( Н2 l^l2 va*2 , , а*Р
(а\ц, V, /3) = - ехр-------------------
01 2 2 2/х 2/л I*
6.43. Получить разложение сжатых состояний по базису фоковских n-фотонных
состояний. Показать, что коэффициенты разложения могут быть найдены по
формуле
1 (Лп'2 ( н2 ( Р \
{п]"- "•Й^ Ы ехЧ"~
где Нп(х) - полиномы Эрмита.
6.44. Показать, что нормальную характеристическую функцию идеального
сжатого одномодового излучения (6.43) можно вычислить по следующей
формуле
в[к,к*} = ехр (ка* -к*а-кк* sh2 г - ^е~2М sh2r - ^j-e2M sh2r^ .
При этом сжатое состояние описывается следующими параметрами: р = = chr,
v = е2г(r) shr и 7 = ге2г- а амплитуда [3 связана с амплитудой а
соотношением (3 = ра + va*.
5 Состояния такого типа впервые ввел Yuen в 1976 г. и назвал их
двухфотонными когерентными состояниями. Наряду с ними можно ввести
состояния DS\vac) (Caves, 1981), которые формально не совпадают с
двухфотонными когерентными в силу некоммутативности операторов D и S.
Последние состояния получили название идеальных сжатых состояний. Однако,
по своим статистическим свойствам (форма области неопределенностей) оба
класса состояний одинаковы. В современной литературе как правило их не
разделяют, называя единым термином "сжатые состояния".
592
Глава 6
6.45. Показать, что для равновесного теплового излучения плотности
распределения координатной и импульсной квадратур являются гауссовыми с
нулевыми собственными значениями и дисперсиями следующего вида
6.46. Доказать, что электромагнитное поле в когерентном состоянии может
быть создано классическим не флуктуирующим током.
УКАЗАНИЕ. Сравнить оператор эволюции вакуумного состояния под действием
классического тока с оператором сдвига (6.36), создающим когерентное
состояние.
Рекомендуемая литература: [Мандель и Вольф (2000)], [Быков (1993)],
[Клышко (1986)], [Клышко (1980)], [Клышко (1994)], [Клышко (1996)],
[Глаубер (1966)], [Глаубер (1972)].
Дополнение к разделу 6.1. Перепутанные состояния
После появления известной работы Эйнштейна-Подольского-Розена [Эйнштейн и
др. (1935)] проблема нелокальности квантовой теории привлекала большое
внимание многих авторов. Исходя из принципа причинности и существования
скрытых параметров, Беллом (см., например, обзор [Белинский и Клышко
(1993)] и цитированную в нем литературу) были сформулированы некоторые
неравенства, которым должны удовлетворять корреляционные функции
результатов измерений в точках, разделенных пространственноподобным
интервалом. Нарушение этих неравенств означает ошибочность теории скрытых
параметров и существование нелокальных эффектов в квантовой теории. Одним
из способов экспериментальной проверки нарушения неравенств Белла
являются опыты по наблюдению корреляции актов фотодетектирования света,
находящегося в перепутанном состоянии6.
Рассмотрим пример поляризационно перепутанного света
6Перепутанными называются состояния, в которых у микрообъекта могут быть
зарегистрированы разные значения одного и того же квантового числа. В
приводимом примере каждый фотон может находиться в состоянии с а = 1
(поляризация вдоль Ох) или в состоянии с а = = 2 (поляризация вдоль Оу).
Подробнее о перепутанных состояниях см., например, в обзоре [Баргатин и
др.(2001)].
(.ДХ2) = (ДХ|) = | coth(fiw/2T)
(1)
6.1. Перепутанные состояния
593
Это волновая функция системы, состоящей из двух фотонов,
распространяющихся в направлении оси Oz. Волновая функция \х) описывает
фотон, поляризованных вдоль оси Ох, а функция |у) - фотон, поляризованный
вдоль Оу. Индексы 1 и 2 относятся к первому и второму фотону
соответственно. Поля в таких состояниях могут быть получены либо при
каскадных переходах в атомах, либо в нелинейных излучательных процессах в
кристаллах.
Рассмотрим результат регистрации фотонов детекторами, перед которыми
поставлены поляризационные анализаторы. Пусть оптические оси анализаторов
составляют углы cpi и ip 2 с осью х для первого и второго детекторов
соответственно.
Будем считать квантовую эффективность обоих фотодетекторов равной
единице. При этом вероятность регистрации (она определяется вероятностью
прохождения анализатора) в соответствии с теорией фотодетектирования
