Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
состояния оператора
Ъ = ца + vcft. (6.45)
Будем считать, что комплексные параметры /1 и v удовлетворяют соотношению
\fi\2 - \v\2 = 1. Это приводит к коммутационному соотношению [6, ЬЦ = 1
для операторов.
588
Глава 6
Покажем, что для сжатых состояний флуктуации квадратурных компонент
неодинаковы и можно добиться подавления флуктуаций одной из них при
возрастании другой. Используем операторы Х\ и Х2, введенные равенствами
(6.37) и совпадающие с точностью до множителей с операторами координаты и
импульса осциллятора:
Xi = (а + af)/2, Х2 = (a- af)/2i. (6.46)
Вследствие коммутационного соотношения [Х\, Х2\ = г/2 выполняется
следующее соотношение неопределенностей:
(АХ2)(АХ2) ^ 1/16. (6.47)
В то же время дисперсии каждой из квадратурных компонент имеют вид
(АХ*) = {", I/, f3\AX*\fi, и, (3) = (6.48)
(АXI) ее </*, v, 0\АХ*\ц, и, /?> = (6.49)
откуда видно, что при выполнении условия \ц - v\ < 1 флуктуации первой
квадратурной компоненты подавлены, а второй усилены - из-за требования
|/i|2 - |^|2 = 1. При другом выборе фаз комплексных чисел fi и v можно
добиться подавления флуктуаций другой компоненты.
Сжатые состояния не обладают классическим аналогом. Для них, например,
нельзя ввести квазивероятность которая была бы всюду положительно
определенной величиной.
Пример 6.7. Доказать последнее утверждение: для сжатого состояния
квазивероятность ё?(а) при некоторых значениях а отрицательна.
Решение. Чтобы в этом убедиться, достаточно написать среднее (/i, v,
/3\АХ2\/и, v, /3), выраженное через когерентные состояния, сведя его к
среднему от нормально упорядоченных операторов:
{ц, и, Р\АХ1ф, и, /3) = (ц, V, 0\Л(АХЦ2))2\", V, j3) + 1/4,
и, 0\Л(АХт)2\", и, /?> = (±((a2)-(a)2) + (ata)-(at)(a)+K.c.)/4,
где JV--оператор нормального упорядочения, к. с. обозначает комплексно
сопряженную величину.
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
589
Для поля в когерентном состоянии средние нормально упорядоченных
операторов флуктуаций квадратурных компонент равны нулю, а для сжатых
состояний одно из средних отрицательно. Это означает, что для сжатой г-й
компоненты выполняется неравенство
(ц, V, (3\Л(АХг)2\1л, U,p)= j 0P(a)(a + a* - (а) - {a*))2d2a< 0.
Это неравенство может быть выполнено, если только в некоторой области
комплексной а-плоскости квазивероятность 5^ отрицательна. ¦
Рис. 6.2
Рассмотрим более подробно вопрос о влиянии фаз комплексных чисел [1 и v
на характер сжатия. Введем понятие фазы сжатия. Для этого представим
параметры fi и ^ в виде
/i = cothr; v = shr ехр(2г$), (6.50)
а сжатое состояние будем обозначать для краткости следующим образом:
|7/3) = | chr, shre2^, /3), где введен параметр сжатия 7 = ге2г(r). При
такой параметризации условие \ц\2 - \и\2 = 1 выполняется автоматически,
дисперсия квадратурной компоненты Х\ будет подавлена, если г -> оо
590
Глава 6
при ехр(г$) = 1, а Х2 при ехр(г$) = -1. Если фаза $ не удовлетворяет ни
одному из этих условий, то вместо квадратурных компонент Х\ и Х2 можно
ввести две другие компоненты,
Y# = (ае~м + а№*)/2, Y^+7r/2 = {ае~м - aV*)/2, (6.51)
дисперсии которых будут удовлетворять следующим соотношениям:
, А -о, ехр(-2г) , А -0 4 ехр(2г)
(A Y2) = Р14 (А Г^/2) = -(6.52)
Модуль параметра сжатия 7 определяет степень подавления флуктуаций одной
из компонент (и усиление другой), а фаза - ориентацию осей, которым
соответствует максимальное сжатие. Последнее проиллюстрировано на рисунке
6.2.
На этом рисунке условно изображена область комплексной а плоскости, в
которой плотность распределения (а\р\а) существенно отлична от нуля, т.
е. представляет собой область неопределенности комплексной амплитуды.
Размер области неопределенности не зависит от амплитуды поля - явление
сжатия может наблюдаться как для слабых, так и для сильных полей.
Заметим, что когерентному состоянию на такой плоскости будет
соответствовать круг неопределенности с центром в точке а, радиус
которого от величины а не зависит. Когерентное состояние может
рассматриваться как частный случай идеальных сжатых состояний: полученные
в этом параграфе формулы при v = 1 и fi = 0 переходят в соответствующие
формулы для когерентных состояний.
Рассмотренный рисунок позволяет качественно проанализировать возможности
подавления флуктуаций при регистрации сжатого света. Физически очевидно
(это можно показать в рамках аккуратного расчета), что в измерениях, в
которых регистрируется интенсивность света, существенное влияние на
точность оказывают флуктуации модуля комплексной амплитуды. Поэтому для
эллипсов сжатия, малая полуось которых ориентирована в радиальном
направлении, эти флуктуации будут подавлены. Для фазовых измерений,
например, с помощью интерферометров более предпочтительной является
ситуация, когда эллипс вытянут в радиальном направлении.
В связи с возможностью понижать шумы при измерениях, сжатые состояния
обладают огромной потенциальной областью практического применения.
Сложности связаны с возможностью создания источников такого света, но и в
