Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
нормировки Sp(p) = 1 и эрмитовости оператора плотности приводят к тому,
что функция 5^ действительна и нормирована на единицу:
/<?"*(") = 1, таг = "(а). (6.41)
Однако, величина 2?(а) может принимать отрицательные значения,
к тому же она может быть гораздо более сингулярной, чем,
например, дель-
та-функция Дирака. По этой причине она не может рассматриваться как
вероятность в классическом понимании и ее называют квазивероятностью. По
своим свойствам эта величина сходна с матрицей плотности в представлении
Вигнера, см. [Ландау и Лифшиц, Статистическая физика], &5. С ее помощью
легко вычислять средние от любых нормально упорядоченных операторов (в
которых все операторы рождения каждой моды стоят левее операторов
уничтожения фотонов), например
Sp{pa+nam) = J d2a0P(a)a*nam.
При записи этого соотношения было использовано равенство ап\а) = ап\а и
сопряженное равенство (а\а)п = (а\а*п.
Квазивероятность ??(а) не может быть измерена в эксперименте, поскольку
вещественная и мнимая части комплексной амплитуды а являются средними
значениями некоммутирующих операторов (а + а^)/2 и (а - а^)/2г, и не
имеют одновременно определенных значений. Но во многих конкретных случаях
удается сопоставить оператору плотности соответствующую квазивероятность
и построить для него разложение (6.40).
586
Глава 6
Пример 6.6. Воспользовавшись соотношением (6.33) для когерентных
состояний, показать, что формулу обращения соотношения (6.40),
позволяющую построить для заданного оператора плотности р
квазивероятность Глаубера-Сударшана, можно записать в виде
9>(z)e~I*'2 = \ J е^2 (-u\p\u)eu*z~uz* d2
и. (6.42)
Решение. Умножив равенство (6.40) слева на (-и| и справа на |и), получим
(1) (-и\р\и) = J ??(z)(-u\z)(z\u)d2z.
Использовав под интегралом для матричных элементов когерентных состояний
формулу (6.33), находим
(2) {~и\р\и) = е-|и|2 J &>{z)e-^euz"-u''zd2z.
Последнее равенство можно рассматривать как двумерное преобразование
Фурье, что становится очевидным, если комплексные переменные г/, г
выразить через действительные переменные: и = р + iq, z = Р + iQ, uz* -
u*z = 2i(qP - pQ), d2z = dPdQ. Обращая преобразование Фурье, получаем
(6.42). Во многих случаях сходимость интеграла (6.42) в классическом
смысле отсутствует. Тогда его нужно рассматривать как обобщенную функцию
z (например, он может представлять производную некоторого порядка от
дельта-функции). ¦
Вместо сингулярных в общем случае квазивероятностей, можно рассматривать
их двумерный фурье-образ
6[к, к*} = Бр(рещ)(ка^) ехр(-к*а)) = J d2a&(a) ехр(ка* - я*а),
(6.43)
который называется нормальной характеристической функцией и является
обычной (необобщенной) функцией комплексных параметров к и к*.
6.36. Найти функцию распределения квазивероятности Глаубера-Су-даршана
2?(а) для случая, когда оператор плотности может быть представлен в виде
р = ^2 Сп^тап а)т.
п,ш
6.37*. Пользуясь изложенным в примере 6.6 методом определения
квазивероятности, вычислить ??(z) для некоторой моды равновесного
электромагнитного излучения. Показать,что квазивероятность в данном
случае
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
587
описывается распределением Гаусса с полушириной, определяемой средним
числом п фотонов в моде и с нулевым средним значением г:
9>(z) = -4е"|г|2/?\ (6.44)
ттп
6.38*. Определить нормальную характеристическую функцию (6.43) и матрицу
плотности в фоковском представлении для состояния, описываемого
квазивероятностью 2?(а) = 5(|а| - |ао|)/27г|а| (состояние с фиксированной
амплитудой и однородным распределением по фазе - модель идеального
лазерного излучения).
6.39. Определить нормальную характеристическую функцию и квазивероятность
2?(а) для состояния, представляющего суперпозицию независимых гауссова
(хаотического) и когерентного полей |ао).
6.40. Доказать, что m-квантовый переход в поле одномодового равновесного
теплового излучения в га! раз более вероятен, чем в когерентном
одномодовом поле с тем же средним числом фотонов в моде.
УКАЗАНИЕ. Вероятность ж-фотонного процесса пропорциональна нормально
упорядоченной корреляционной функции Gm,m = (a^rnam).
Сжатые состояния. Рассмотренное выше когерентное излучение
характеризуется минимальной неопределенностью координаты и импульса
осциллятора поля (см. соотношение неопределенностей (Д3.32)). Причем, как
следует из решения задачи 6.34 дисперсии координаты и импульса не
изменяются с течением времени и равны соответственно (AQ2) = h/2co и
(АР2) = Нсо/2. В последнее время большой интерес вызывают сжатые
состояния, которые характеризуются тем, что дисперсия одной из величин -
координаты или импульса меньше приведенных выше величин. При этом,
разумеется, неопределенность другой величины должна соответственно
увеличиться. Если произведение дисперсий равно Н2 /16 (оно, в силу
соотношения неопределенностей, разумеется, не может стать меньше), то
такие состояния называют идеальными сжатыми состояниям.
Сжатые состояния (обозначим их \ц, v, /3)) определяются как собственные
