Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваемый осциллятор поля:
(3) Ns= J2 NswN3 = (l-e-a)[-
ч да ) ' еа - 1 '
N.4=0 4 7 п=0
Итак, распределение Планка средних чисел фотонов по частотам имеет вид
= ехр^/Г)-! <6-24'
(см. рис. 6.1; по горизонтальной оси отложена безразмерная величина х = =
hco/T). Число квантов при заданной температуре растет с уменьшением
3 Спектр равновесного электромагнитного излучения, т. е.
распределение энергии излучения по частотам, был подробно исследован
опытным путем в конце 19-го века (форма спектра вычисляется в задаче 6.23
ниже). Этот спектр совершенно не поддавался описанию методами
классической электродинамики и классической статистической физики.
Трудности в объяснении свойств равновесного электромагнитного излучения и
побудили М. Планка ввести в 1900 г. понятие кванта действия h и кванта
электромагнитного поля с энергией hcu. Этот год можно считать годом
рождения всей квантовой физики, в том числе и квантовой электродинамики.
580
Глава 6
частоты неограниченно при со -> 0, но энергия, приходящаяся на любой
конечный интервал А и, остается конечной (см. задачу 6.22). Распределение
Планка является частным случаем распределения Бозе - Эйнштейна для
невзаимодействующих частиц с целыми спинами.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Статистическая физи-ка],
[Румер и Рыбкин (1977)].
6.22. Вычислить среднюю энергию, приходящуюся на один осциллятор поля
равновесного электромагнитного излучения.
6.23*. Вычислить спектральное распределение интенсивности и плотности
энергии равновесного излучения, основываясь на распределении Планка.
Произвести анализ частных случаев. Объяснить природу "ультрафиолетовой
катастрофы" - невозможность получить спектральную плотность излучения при
высоких частотах исходя из классических представлений.
6.24. Показать, что полная интенсивность излучения с единицы площади
поверхности абсолютно черного тела (испускающего равновесное
электромагнитное излучение) выражается формулой Стефана-Больцмана
- постоянная Стефана-Больцмана, Т - температура в кельвинах, угол в
отсчитывается от нормали к поверхности и интегрирование по телесному углу
ведется в пределах полусферы. Полная энергия излучения в объеме У (т. е.
внутренняя энергия) дается выражением
Задачи
где а =
5,67 х 1СГ5 г/(с3К4) (6.25)
(6.26)
УКАЗАНИЕ. Использовать табличный интеграл
оо
/ X3 dx _ 7И J ех - 1 ~ 15 '
о
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
581
6.25. Для равновесного излучения найти распределение р(А) плотности
энергии излучения по длинам волн А и сформулировать закон смещения Вина
для такого распределения, т. е. найти связь между температурой и длиной
волны, на которую приходится максимум излучения.
6.26. Построить функцию распределения Планка, полученную при решении
задачи 6.23, в зависимости от отношений А/Ат и А/А^, где Ат, А^ - длины
волны, отвечающие максимуму функции распределения по частотам и по длинам
волн. Найти Ат, А^ для следующих космических объектов: а) реликтовое
излучение (Т = 3 К), б) поверхность Земли (300 К), /i-Цефея, так
называемая "гранатовая звезда" (2000 К), поверхность Солнца (6000 К),
поверхность Сириуса (11 000 К), поверхность звезды /3-Центавра (22 500
К), центральная звезда планетарной туманности Лиры (75 000 К),
поверхность нейтронной звезды (250 000 К), внутренние области обычных
звезд типа Солнца (25 х 106 К).
6.27. Определить свободную энергию F, давление Р, энтропию S и
теплоемкость Су при постоянном объеме равновесного излучения в объеме У
при температуре Т.
УКАЗАНИЕ. Необходимые термодинамические соотношения имеются в приложении
3 (формулы (Д3.46), (Д3.46;)).
¦
Когерентные состояния. При теоретическом описании электромагнитного поля
важное значение имеет выбор базиса состояний. Для описания процессов,
происходящих с участием небольшого числа фотонов и могущих быть
описанными методами теории возмущений, наиболее удобен базис фоковских
состояний, которым соответствует задание определенного числа фотонов Ns в
каждой моде. При этом фазы отдельных состояний остаются неопределенными.
Такие явления, как когерентность, в которых большую роль играют фазовые
соотношения между модами, удобнее описывать, используя когерентные (или
глауберовские) состояния (см. [Глаубер (1972)], хотя впервые такие
состояния рассматривались еще Шре-дингером в 1926 г.). В этом случае
наиболее прост переход к квазикласси-ческому описанию интенсивных
лазерных пучков.
Когерентные состояния данной моды з, обозначаемые в дальнейшем как |zs),
по определению являются собственными состояниями неэрмитова оператора
уничтожения фотона as:
a\zs) = zs\zs). (6.27)
Собственным значением неэрмитова оператора может быть любое комплексное
число. Когерентными состояниями можно описывать не только
582
Глава 6
электромагнитное поле, но и другие квантовые системы (см., например,
[Малкин и Манько (1979)]). Ниже на нескольких примерах и в задачах мы
проиллюстрируем их основные свойства и некоторые применения.
